Задачи на растворы, сплавы и проценты

 

Задача 8 (ГИА — 2014)

 

Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные - 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

 

Решение

100% - 16% = 84% - все, что содержится в сухих фруктах, кроме воды.

21*84/100 = 17,64 (кг) - масса высушенных фруктов без учета воды.

Эта масса в свежих фруктах составляет: 100% - 93% = 7%, т.е.

17,64 кг - это 7% свежих фруктов.

Тогда (17,64:7)*100 = 252 (кг) - требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов.

 

Ответ : 252.

 

Задача 9 (ГИА — 2014)

 

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные - 30%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

 

Решение

100% - 88% = 12% - все, что содержится в свежих фруктах, кроме воды.

12*420/100 = 50,4 (кг) - масса свежих фруктов без учета воды.

Эта масса в высушенных фруктах составляет: 100% - 30% = 70%, т.е.

50,4 кг - это 70% высушенных фруктов.

Тогда (50,4:70)*100 = 72 (кг) - сухих фруктов из 420 кг свежих фруктов.

 

Ответ: 72.

 

Задача 10 (ГИА — 2014)

 

Цену товара сначала увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%, после чего она стала 1089 рублей. Найдите первоначальную цену товара.

 

Решение

Пусть x (рублей) - первоначальная цена товара.

Тогда цена товара после увеличения на 10% будет равна

x+(10%/100%)x = x+0,1x = 1,1x.

А после того, как новую цену уменьшили на 10%, она стала равна

1,1x - (10/100)1,1x = 1,1x - 0,1*1,1x = 1,1x - 0,11x = 0,99x. И эта же цена равна 1089 рублей.

Получаем уравнение:

0,99x = 1089,

x = 1100 (рублей) - первоначальная цена товара.

 

Ответ: 1100.

 

 

Задача 11  (ГИА — 2014)

 

Цену товара сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20%, после чего она стала 6720 рублей. Найдите первоначальную цену товара.

 

Решение

Пусть x (рублей) - первоначальная цена товара.

Тогда цена товара после увеличения на 20% будет равна

x+(20%/100%)x = x+0,2x = 1,2x.

А после того, как новую цену уменьшили на 20%, она стала равна

1,2x - (20/100)1,2x = 1,2x - 0,2*1,2x = 1,2x - 0,24x = 0,96x. И эта же цена равна 6720 рублей.

Получаем уравнение:

0,96x = 6720,

x = 7000 (рублей) - первоначальная цена товара.

 

Ответ: 7000.

 

Задача 12  (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

 

Решение

Пусть цена товара каждый раз снижалась на x%.

Тогда после первого снижения цена товара будет равна

5000 - 5000*x/100 = 5000(1-x/100),

после второго снижения уже новой цены снова на x%, цена будет равна

5000(1-x/100) - 5000(1-x/100)*x/100 = 5000(1-x/100)(1-x/100) = 5000(1-x/100)2.

И так как окончательно цена стала равна 4050 рублей, то получаем уравнение:

5000(1-x/100)2 = 4050,

(1-x/100)2 = 4050/5000,

(1-x/100)2 = 0,81,

1-x/100 = ± 0,9,

x/100 = 1 ± 0,9,

x1 = (1-0,9)*100 =10%,

x2 = (1+0,9)*100 = 190%.

Так как цена не может упасть более, чем на 100%, то x2 = 190% - не удовлетворяет условию задачи.

Значит, цена дважды снижалась на 10%.

 

Ответ: 10.

 

Задача 13 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?

 

Решение

Пусть цена товара каждый раз повышалась на x%.

Тогда после первого повышения цена товара будет равна

3000 + 3000*x/100 = 3000(1+x/100),

после второго повышения уже новой цены снова на x%, цена будет равна

3000(1+x/100) + 3000(1+x/100)*x/100 = 3000(1+x/100)(1+x/100) = 3000(1+x/100)2.

И так как окончательно цена стала равна 3630 рублей, то получаем уравнение:

3000(1+x/100)2= 3630,

(1+x/100)2= 3630/3000,

(1+x/100)2 = 1,21,

1+x/100 = ± 1,1,

x/100 = ± 1,1-1,

x1 = (1,1-1)*100 = 10%,

x2 = (-1,1-1)*100 =- 210%.

x2 = -210% - не удовлетворяет условию задачи.

Значит, цена дважды повышалась на 10%.

 

Ответ: 10.

 

Задача 14  (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Клинет внес 3000 рублей на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой - 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 рублей. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?

 

Решение

Пусть на первый вклад клиент внес x (рублей), тогда на второй вклад он внес (3000 - x) рублей.

Тогда через год на первом счету (с годовым доходом 8%) будет сумма, равная

x+(8/100)*x = 1,08x,

на втором счету (с годовым доходом 10%) через год будет сумма

(3000 - x) + 10/100*(3000-x) = (3000-x)*1,1.

Так как всего на двух счетах через год стало 3260 рублей, то составим и решим уравнеие

1,08x+(3000-x)*1,1 = 3260,

1,08x - 1,1x +3300 = 3260,

0,02x = 40,

x = 2000 (рублей) - сумма, которую клиент внес на счет с годовым доходом 8%,

3000 - 2000 = 1000 (рублей) - сумма, которую клиент внес на счет с годовы доходом 10%.

 

Ответ: 2000 рублей и 1000 рублей.

 

1 2 3