Задача 1 (ГИА — 2014)
Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 60 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Пусть x (л/мин) - заполняет первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).
Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+10) (л/мин).
60/x - время заполнения резервуара объемом 60 литров первой трубой.
60/(x+10) - время заполнения резервуара объемом 60 литров второй трубой.
Так как резервуар объемом 60 литров первая труба заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:
60/x - 60/(x+10) = 3,
умножим все уравнение на x(x+10):
60(x+10) - 60x = 3x(x+10),
600 = 3x(x+10),
200 = x^2 +10x,
x^2 +10x - 200 = 0,
x1 = 10, x2 = -20.
Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 10.
Ответ : 10.
Задача 2 (ГИА — 2014)
Игорь и Паша красят забор за 8 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 9 часов, а Володя и Игорь - за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?
Примем весь забор за 1.
Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,
y - скорость , с которой красит забор Паша,
z - скорость , с которой красит забор Володя.
Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).
Так как они красят весь забор за 8 часов, то получаем уравнение:
8(x+y) = 1.
Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:
9(y+z) = 1,
24(x+z) = 1.
Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:
x+y = 1/8,
y+z = 1/9,
x+z = 1/24.
Сложим все три уравнения системы:
x+y+y+z+x+z = 1/8+1/9+1/24,
2x+2y+2z = 5/18,
2(x+y+z) = 5/18,
x+y+z = 5/36.
5/36 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:
1/(x+y+z) = 36/5 = 7,2 (часа) ,
7,2*60 = 432 минуты.
Ответ: 432.
Задача 3 (ГИА — 2014)
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 140 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Пусть x (л/мин) - заполняет первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).
Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+6) (л/мин).
140/x - время заполнения резервуара объемом 140 литров первой трубой.
140/(x+6) - время заполнения резервуара объемом 140 литров второй трубой.
Так как резервуар объемом 140 литров первая труба заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:
140/x - 140/(x+6) = 3,
умножим все уравнение на x(x+6):
140(x+6) - 140x = 3x(x+6),
840 = 3x(x+6),
280 = x^2 +6x,
x^2 +6x - 280 = 0,
x1 = 14, x2 = -20.
Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 14.
Ответ: 14.
Задача 4 (ГИА — 2014)
Игорь и Паша красят забор за 5 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 6 часов, а Володя и Игорь - за 20 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?
Примем весь забор за 1.
Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,
y - скорость , с которой красит забор Паша,
z - скорость , с которой красит забор Володя.
Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).
Так как они красят весь забор за 5 часов, то получаем уравнение:
5(x+y) = 1.
Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:
6(y+z) = 1,
20(x+z) = 1.
Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:
x+y = 1/5,
y+z = 1/6,
x+z = 1/20.
Сложим все три уравнения системы:
x+y+y+z+x+z = 1/5+1/6+1/20,
2x+2y+2z = 5/12,
2(x+y+z) = 5/12,
x+y+z = 5/24.
5/24 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:
1/(x+y+z) = 24/5 = 4,8 (часа) ,
4,8*60 = 288 минут.
Ответ: 288.
Задача 5 (ГИА — 2014)
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?
Пусть x (л/мин) - заполняет первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).
Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+5) (л/мин).
200/x - время заполнения резервуара объемом 200 литров первой трубой.
200/(x+5) - время заполнения резервуара объемом 200 литров второй трубой.
Так как резервуар объемом 200 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:
200/x - 200/(x+5) = 2,
умножим все уравнение на x(x+5):
200(x+5) - 200x = 2x(x+5),
1000 = 2x(x+5),
500 = x^2 +5x,
x^2 +5x - 500 = 0,
x1 = 20, x2 = -25.
Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 20.
Ответ: 20.
Задача 6 (ГИА — 2014)
Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь - за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?
Примем весь забор за 1.
Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,
y - скорость , с которой красит забор Паша,
z - скорость , с которой красит забор Володя.
Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).
Так как они красят весь забор за 10 часов, то получаем уравнение:
10(x+y) = 1.
Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:
15(y+z) = 1,
24(x+z) = 1.
Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:
x+y = 1/10,
y+z = 1/15,
x+z = 1/24.
Сложим все три уравнения системы:
x+y+y+z+x+z = 1/10+1/15+1/24,
2x+2y+2z = 5/24,
2(x+y+z) = 5/24,
x+y+z = 5/48.
5/48 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:
1/(x+y+z) = 48/5 = 9,6 (часа) ,
9,6*60 = 576 минут.
Ответ: 576.
Задача 7 (ГИА — 2014)
Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь - за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?
Примем весь забор за 1.
Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,
y - скорость , с которой красит забор Паша,
z - скорость , с которой красит забор Володя.
Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).
Так как они красят весь забор за 18 часов, то получаем уравнение:
18(x+y) = 1.
Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:
20(y+z) = 1,
30(x+z) = 1.
Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:
x+y = 1/18,
y+z = 1/20,
x+z = 1/30.
Сложим все три уравнения системы:
x+y+y+z+x+z = 1/18+1/20+1/30,
2x+2y+2z = 5/36,
2(x+y+z) = 5/36,
x+y+z = 5/72.
5/72 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:
1/(x+y+z) = 72/5 = 14,4 (часа) ,
14,4*60 = 864 минут.
Ответ: 864.