Задачи на работу

 

Задача 1 (ГИА — 2014)

 

Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 60 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

 

Решение

Пусть x (л/мин) - заполняет первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).

Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+10) (л/мин).

60/x - время заполнения резервуара объемом 60 литров первой трубой.

60/(x+10) - время заполнения резервуара объемом 60 литров второй трубой.

Так как резервуар объемом 60 литров первая труба заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:

60/x - 60/(x+10) = 3,

умножим все уравнение на x(x+10):

60(x+10) - 60x = 3x(x+10),

600 = 3x(x+10),

200 = x^2 +10x,

x^2 +10x - 200 = 0,

x1 = 10, x2 = -20.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 10.

 

Ответ : 10.

 

Задача 2 (ГИА — 2014)

 

Игорь и Паша красят забор за 8 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 9 часов, а Володя и Игорь - за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

 

Решение

Примем весь забор за 1.

Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,

y - скорость , с которой красит забор Паша,

z - скорость , с которой красит забор Володя.

Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).

Так как они красят весь забор за 8 часов, то получаем уравнение:

8(x+y) = 1.

Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:

9(y+z) = 1,

24(x+z) = 1.

Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:

x+y = 1/8,

y+z = 1/9,

x+z = 1/24.

Сложим все три уравнения системы:

x+y+y+z+x+z = 1/8+1/9+1/24,

2x+2y+2z = 5/18,

2(x+y+z) = 5/18,

x+y+z = 5/36.

5/36 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:

1/(x+y+z) = 36/5 = 7,2 (часа) ,

7,2*60 = 432 минуты.

 

Ответ: 432.

 

Задача 3 (ГИА — 2014)

 

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 140 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

 

Решение

Пусть x (л/мин) - заполняет первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).

Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+6) (л/мин).

140/x - время заполнения резервуара объемом 140 литров первой трубой.

140/(x+6) - время заполнения резервуара объемом 140 литров второй трубой.

Так как резервуар объемом 140 литров первая труба заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:

140/x - 140/(x+6) = 3,

умножим все уравнение на x(x+6):

140(x+6) - 140x = 3x(x+6),

840 = 3x(x+6),

280 = x^2 +6x,

x^2 +6x - 280 = 0,

x1 = 14, x2 = -20.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 14.

 

Ответ: 14.

 

 

Задача 4  (ГИА — 2014)

 

Игорь и Паша красят забор за 5 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 6 часов, а Володя и Игорь - за 20 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

 

Решение

Примем весь забор за 1.

Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,

y - скорость , с которой красит забор Паша,

z - скорость , с которой красит забор Володя.

Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).

Так как они красят весь забор за 5 часов, то получаем уравнение:

5(x+y) = 1.

Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:

6(y+z) = 1,

20(x+z) = 1.

Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:

x+y = 1/5,

y+z = 1/6,

x+z = 1/20.

Сложим все три уравнения системы:

x+y+y+z+x+z = 1/5+1/6+1/20,

2x+2y+2z = 5/12,

2(x+y+z) = 5/12,

x+y+z = 5/24.

5/24 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:

1/(x+y+z) = 24/5 = 4,8 (часа) ,

4,8*60 = 288 минут.

 

Ответ: 288.

 

Задача 5  (ГИА — 2014)

 

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

 

Решение

Пусть x (л/мин) - заполняет первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).

Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+5) (л/мин).

200/x - время заполнения резервуара объемом 200 литров первой трубой.

200/(x+5) - время заполнения резервуара объемом 200 литров второй трубой.

Так как резервуар объемом 200 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:

200/x - 200/(x+5) = 2,

умножим все уравнение на x(x+5):

200(x+5) - 200x = 2x(x+5),

1000 = 2x(x+5),

500 = x^2 +5x,

x^2 +5x - 500 = 0,

x1 = 20, x2 = -25.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 20.

 

Ответ: 20.

 

Задача 6  (ГИА — 2014)

 

Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь - за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

 

Решение

Примем весь забор за 1.

Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,

y - скорость , с которой красит забор Паша,

z - скорость , с которой красит забор Володя.

Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).

Так как они красят весь забор за 10 часов, то получаем уравнение:

10(x+y) = 1.

Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:

15(y+z) = 1,

24(x+z) = 1.

Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:

x+y = 1/10,

y+z = 1/15,

x+z = 1/24.

Сложим все три уравнения системы:

x+y+y+z+x+z = 1/10+1/15+1/24,

2x+2y+2z = 5/24,

2(x+y+z) = 5/24,

x+y+z = 5/48.

5/48 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:

1/(x+y+z) = 48/5 = 9,6 (часа) ,

9,6*60 = 576 минут.

 

Ответ: 576.

 

Задача 7  (ГИА — 2014)

 

Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь - за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

 

Решение

Примем весь забор за 1.

Пусть x - скорость , с которой красит забор Игорь,

y - скорость , с которой красит забор Паша,

z - скорость , с которой красит забор Володя.

Игорь и Паша работают вместе со скоростью (x+y).

Так как они красят весь забор за 18 часов, то получаем уравнение:

18(x+y) = 1.

Аналогично, (y+z) - скорость , с которой работают совместно Паша и Володя, а (x+z) - совместная скорость Игоря и Володи. Получаем еще два уравнения:

20(y+z) = 1,

30(x+z) = 1.

Получили систему из 3 уравнений. Упростим ее:

x+y = 1/18,

y+z = 1/20,

x+z = 1/30.

Сложим все три уравнения системы:

x+y+y+z+x+z = 1/18+1/20+1/30,

2x+2y+2z = 5/36,

2(x+y+z) = 5/36,

x+y+z = 5/72.

5/72 - скорость мальчиков, если они работают втроем. Тогда время, за которое они покрасят весь забор, работая втроем, равно:

1/(x+y+z) = 72/5 = 14,4 (часа) ,

14,4*60 = 864 минут.

 

Ответ: 864.

 

1