Задачи на движение

 

Задача 22 (Диагностическая работа, февраль 2015)

 

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

 

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость первого автомобилиста. Тогда скорость второго автомобилиста на первой половине пути равна (x-9) км/ч.

Положим, что весь путь равен 1. Тогда t1 = 1/x - время, которое затратил на путь 1 автомобилист.

t2 = 0,5/(x-9) + 0,5/60 = 0,5/(x-9) + 1/120 - время, которое затратил на весь путь 2 автомобилист.

Так как автомобилисты прибыли в пункт B одновременно, то составим и решим уравнение:

1/x = 0,5/(x-9) + 1/120,

Умножим все уравнение на общий знаменатель 120x(x-9):

120 (x-9) = 60 x + x(x-9),

120 x - 1080 - 60x - x2+9x = 0,

x2 - 69 x + 1080 = 0,

x1 = 45, x2 = 24.

Так как по условию задачи скорость 1 автомобилиста больше 40 км/ч, то x = 45.

 

Ответ : 45.

 

Задача 22 (Диагностическая работа, февраль 2015)

 

Расстояние между пристанями A и B равно 108 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

 

Решение

Пусть x км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.

Скорость плота равна скорости течения реки и равна 5 км/ч.

Время, за которое плот прошел 50 км равно

50/5 = 10 часов.

Значит, моторная лодка затратила на весь путь 10-1 = 9 часов.

Скорость лодки из A в B равна (x+5) км/ч, а обратно - (x-5) км/ч.

Составим и решим уравнение:

108/(x+5) +108/(x-5) = 9,

108(x-5)+108(x+5) = 9(x-5)(x+5),

216x = 9x2 - 225,

x2 - 24x - 25 = 0,

x1 = 25, x2 = -1.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 25.

 

Ответ: 25.

 

Задача 22 (Диагностическая работа, февраль 2015)

 

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

 

Решение

Пусть x(км/ч) - скорость теплохода в неподвижной воде.

Тогда скорость скорость теплохода по течению реки равна (x+5) км/ч, а против течения - (x-5) км/ч.

t1 = 140/(x+5) - время, за которое теплоход пришел в пункт назначения,

t2 = 140/(x-5) - время, за которое теплоход вернулся обратно.

Так как в пункт отправления теплоход вернулся через 32 часа, а стоянка длилась 11 часов, то составим и решим уравнение:

140/(x+5) + 140/(x-5) = 32-11,

140/(x+5) + 140/(x-5) = 21,

140 (x-5) +140 (x+5) = 21 (x-5)(x+5),

280x = 21 x2 - 525,

3x2-40x-75 =0,

x1 = 15, x2 = -5/3.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 15.

 

Ответ: 15.

 

 

Задача 22 (Диагностическая работа, февраль 2015)

 

Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 50 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

 

Решение

Средняя скорость автомобиля — это отношение всего пройденного пути ко всему времени:

V (ср) = S/t

t = 5+3+3 = 11 (часов) — все время, затраченное на дорогу.

S = 110·5+50·3+60·3 = 880 (км) — весь пройденный путь.

V (ср) = 880/11 = 80 (км/ч) — средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути.

 

Ответ: 80.

 

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 8 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошел первый круг 3 минуты назад.Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 9 км/ч меньше скорости второго.

 

Решение

Пусть x (км/ч) — скорость первого бегуна. Тогда скорость 2 бегуна равна (x+9)км/ч.

За час 1 бегун прошел x*1 = x (км). Так как на этот момент времени ему оставалось до окончания 1 круга пройти 8 км, то длина круга равна (x+8) км.

Так как 2 бегун прошел первый круг 3 минуты назад, то он затратил на его прохождение 1ч - 3 мин = 57 минут = 57/60 часа = 19/20 часа.

Составим и решим уравнение:

(19/20) * (x+9) = x+8,

19 (x+9) = 20 (x+8),

x = 11.

 

Ответ: 11.

 

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 190 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 1550 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте.

 

Решение

Скорость пассажирского поезда относительно товарного равна 190-40 = 150 км/ч.

Тогда за 1 минуту пассажирский поезд прошел расстояние, равное своей длине+длина товарного поезда.

Пусть x (м) - длина пассажирского поезда.

Значит за 1 минуту пассажирский поезд прошел x+1550 метров со скоростью 150 км/ч.

150 км/ч = 150*1000/3600 м/с = 125/3 м/с.

1 минута = 60 секунд.

Составим и решим уравнение:

60 * 125/3 = x+1550,

2500= x+1550,

x = 950. То есть длина пассажирского поезда равна 950 метров.

 

Ответ: 950.

 

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в A, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

 

Решение

Пусть x (км/ч) — скорость велосипедиста на пути из A в B.

Тогда x+8 (км/ч) — скорость велосипедиста на пути из B в A.

t1 = 209/x - время, затраченное на путь из A в B.

t2 = 209/(x+8) - время, затраченное на путь из B в A.

Так как остановка длилась 8 часов, а время на путь из A в B и обратно затрачено одинаковое, то получаем уравнение:

209/x = 209/(x+8) + 8,

приведем дроби к общему знаменателю x(x+8) и умножим все уравнение на этот знаменатель

209(x+8) = 209x+8x(x+8),

8x2 + 64 x - 1672 = 0,

x2 + 8 x - 209 = 0,

x1 = 11, x2 = -19.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x= 11.

 

Ответ: 11.

 

1 2 3 4 5 6