Задачи на круговое движение

 

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015)

 

Два стайера стартуют из одной точки кольцевой дорожки стадиона, а третий стартует одновременно с ними в том же направлении из диаметрально противоположной точки. Пробежав три круга, третий стайер впервые после старта догнал второго. Через 2,5 минуты после этого первый стайер впервые догнал третьего. Сколько кругов в минуту пробегает второй стайер, если первый обгоняет его один раз через каждые 6 минут?

 

Решение

Пусть x (кругов/мин) - скорость 1 стайера,

y (кругов/мин) - скорость 2 стайера,

z (кругов/мин) - скорость 3 стайера.

Так как 2 и 3 стайеры бегут в одном направлении, и по условию, 3 стайер догнал 2, пробежав 3 круга, то их относительная скорость (скорость сближения) равна z-y.

Пусть круг - это 1. Тогда 3 круга 3 стайер пробежал за время, равное 3/z.

С другой стороны это же время потребовалось, чтобы догнать 2 стайера. Получаем уравнение:

$$\frac{0,5}{z-y} = \frac{3}{z},$$

или

$$z=6y/5.$$

Так как через 2,5 минуты после этого 1 стайер догнал 3, то скорость сближения 1 и 3 стайеров равна x-z. Получаем второе уравнение:

$$\frac{0,5}{x-z}=\frac{3}{z}+2,5.$$

И так как 1 обгоняет 2 стайера 1 раз в 6 минут (то есть за каждые 6 минут 1 стайер проходит на 1 круг больше. чем 2 стайер), то получаем 3 уравнение:

$$6x-6y=1,$$

откуда $$x=y+1/6.$$

Подставим выражения для z и x, полученные в 1 и 3 уравнениях, во 2 уравнение. Получим:

$$\frac{0,5}{y+1/6-6y/5} = \frac{15}{6y}+\frac{5}{2},$$

$$\frac{0,5}{1/6-y/5} = \frac{5}{2y}+\frac{5}{2},$$

$$\frac{0,5}{1/6-y/5} = \frac{5+5y}{2y},$$

$$ y = (1/6-y/5)(5+5y),$$

$$30y=(5-6y)(5+5y),$$

$$30y=25-5y-30y^2,$$

$$30y^2+35y-25=0,$$

$$6y^2+7y-5 = 0,$$

$$y_1=0,5, y_2 = -5/3.$$

Значит, y = 0,5 и второй стайер за 1 минуту пробегает половину круга.

 

Ответ : 0,5.

 

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?

 

Решение

Так как скорость одного из мотоциклистов на 15 км/ч больше скорости другого, то скорость их сближения равна 15 км/ч.

Изначально расстояние между мотоциклистами - полкруга, то есть 8 км.

Получаем: 8/15 (часов) - время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз.

$$\frac{8}{15} \cdot 60 = 32~ минуты.$$

То есть в первый раз мотоциклисты поравняются через 32 минуты.

 

Ответ: 32.

 

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 21 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 120 км/ч, и через 45 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

 

Решение

Пусть x - скорость второго автомобиля.

Тогда скорость сближения автомобилей равна 120-x.

И так как через 45 минут после старта первый автомобиль опережал второй на один круг, то есть на 21 км, то получаем уравнение:

$$\frac{45}{60} \cdot (120-x) = 21,$$

$$3(120-x) = 84,$$

$$120-x = 28,$$

$$x = 120-28 = 92.$$

 

Ответ: 92.

 

Задача 22 (ОГЭ - 2015)

 

Два автомобиля одновременно отправляются в 950-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывет к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

 

Решение

Пусть x(км/ч) - скорость 1 автомобиля. Тогда скорость 2 автомобиля равна (x-18) (км/ч).

Так как каждый из автомобилей проехал 950 км, то время, которое затратил на дорогу первый автомобиль, равно

$$t_1 = \frac{950}{x},$$

а время, которое затратил надорогу 2 автомобиль, равно

$$t_2 = \frac{950}{x-18}.$$

Так как первый автомобиль прибыл к финишу на 4 часа раньше второго, то составим и решим уравнение:

$$\frac{950}{x-18} - \frac{950}{x} = 4, $$

$$950x - 950(x-18) = 4x(x-18),$$

$$950 \cdot 18 = 4x^2 - 72x,$$

$$4x^2 - 72x - 17100= 0,$$

$$x_1 = 75,~x_2 = -57.$$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, то получам, что скорость первого автомобиля равна 75 км/ч.

 

Ответ: 75.

 

 

Задача 22 (ОГЭ - 2015)

 

Два автомобиля одновременно отправляются в 800-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 36 км/ч большей, чем второй, и прибывет к финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

 

Решение

Пусть x(км/ч) - скорость 1 автомобиля. Тогда скорость 2 автомобиля равна (x-36) (км/ч).

Так как каждый из автомобилей проехал 800 км, то время, которое затратил на дорогу первый автомобиль, равно

$$t_1 = \frac{800}{x},$$

а время, которое затратил надорогу 2 автомобиль, равно

$$t_2 = \frac{800}{x-36}.$$

Так как первый автомобиль прибыл к финишу на 5 часов раньше второго, то составим и решим уравнение:

$$\frac{800}{x-36} - \frac{800}{x} = 5, $$

$$800x - 800(x-36) = 5x(x-36),$$

$$800 \cdot 36 = 5x^2 - 180x,$$

$$5x^2 - 180x - 28800= 0,$$

$$x_1 = 96,~x_2 = -60.$$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, то получам, что скорость первого автомобиля равна 96 км/ч.

 

Ответ: 96.

 

 

 

1 2 3 4 5 6