Геометрия. Вычисление площадей

 

Задача 1 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

В трапеции ABCD AD = 4, BC = 1, а ее площадь равна 35. Найдите площадь треугольника ABC.

 

Решение

geom_square_1

Проведем высоты AH и CK.

geom_square_2

Площадь трапеции ABCD равна S = (BC+AD)*CK/2. Получим:

(1+4)*CK/2 = 35,

CK = 14.

Высота AH треугольника ABC равна CK, т.е. AH = CK = 14.

Тогда площадь треугольника ABC равна S = 1/2*BC*AH = 1/2*1*14 = 7.

 

Ответ : 7.

 

Задача 2 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

 

geom_square_3

 

Решение

geom_square_4

Из рисунка AB = 11, CD = 5, DH = 5.

S = (AB+CD)*DH/2 = (11+5)*5/2 = 40.

Площадь трапеции равна 40.

 

Ответ: 40.

 

Задача 3 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Периметр равнобедренного треугольника равен 250, а боковая сторона - 85. Найдите площадь треугольника.

 

Решение

geom_square_5

P = AC+BC+AB.

Так как треугольник равнобедренный, то AC = BC и, учитывая, что периметр равен 250, получим:

85+85+AB = 250, 170+AB = 250, откуда AB = 80.

CH - высота. Тогда по свойству равнобедренного треугольника CH является и медианой и поэтому AH = BH = 80/2 = 40.

Найдем CH. По теореме Пифагора для треугольника BCH имеем:

BC2 = CH2+BH2,

CH2 = 852 - 402,

CH2 = (85-40)(85+40) = 45*125 = 9*5*25*5 = 9*25*25,

CH = 3*5*5 = 75.

Тогда площадь треугольника ABC равна

S = 1/2*AB*CH = 1/2*80*75 = 40*75 = 3000.

 

Ответ: 3000.

 

 

Задача 4 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

 

geom_square_6

 

Решение

geom_square_7

Площадь фигуры S равна сумме двух площадей S1 и S2, т.е. S = S1+S2.

S1 - это площадь прямоугольной трапеции ABKD. AB = 5, KD = 6, BK = 4.

Тогда S1 = (AB+DK)*BK/2 = (5+6)*4/2 = 22.

S2 - площадь прямоугольного треугольника CDK.

S2 = 1/2 CK* KD = 1/2* 2*6 = 6.

S = 22+6 = 28.

 

Ответ: 28.

 

Задача 5 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

В треугольнике ABC DE - средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 67. Найдите площадь треугольника ABC.

 

Решение

geom_square_8

Так как DE - средняя линия треугольника ABC, то треугольники ABC и CDE подобны. Так как AB:DE = 2:1, то коэффициент подобия k =2.

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, т.е. k2. Значит, площадь треугольника ABC в 4 раза больше площади треугольника CDE и равна 4*67 = 268.

 

Ответ: 268.

 

Задача 6(ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

 

geom_square_9

 

Решение

S = 1/2*(9+16)*12 = 1/2*25*12 = 25*6 = 150.

 

Ответ: 150.

 

Задача 7 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 84.

 

Решение

geom_square_10

Пусть a - сторона квадрата, r - радиус вписанной окружности. По условию r = 84.

a = 2r = 2*84 = 168. S = a2 = 1682 = 28224.

 

Ответ: 28224.

 

1 2 3