Геометрия. Окружности

 

Задача 10 (ОГЭ - 2015)

 

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги окружности.

geom_circle_1

 

Решение

∠ AOB = 18°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 18/360 = 1/20 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/20 всей окружности, поэтому большая дуга - это остальная часть, т.е. 19/20 окружности.

1/20 окружности соответствует длине дуги, равной 5. Тогда длина большей дуги равна 5*19 = 95.

 

Ответ : 95.

 

Задача 10 (ОГЭ - 2015)

 

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги окружности.

geom_circle_1

 

Решение

∠ AOB = 40°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 40/360 = 1/9 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/9 всей окружности, поэтому большая дуга - это остальная часть, т.е. 8/9 окружности.

1/9 окружности соответствует длине дуги, равной 50. Тогда длина большей дуги равна 50*8 = 400.

 

Ответ: 400.

 

Задача 10 (ГИА - 2014)

 

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

geom_circle_2

 

Решение

geom_circle_3

AB = 72/2 = 36.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOB получим:

AO2 = OB2+AB2,

AO2 = 272+362 = 729+1296 = 2025,

R = AO = 45.

Тогда диаметр равен 2R = 2*45 = 90.

 

Ответ: 90.

 

 

Задача 10 (ГИА - 2014)

 

Точка O - центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 134° и ∠OAB = 75°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

geom_circle_4

 

Решение

∠ABC - вписанный, а значит равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому большая дуга AC = 2*134 = 268°.

Тогда дуга ABC = 360° - 268° =92°.

∠AOC = 92°,так как он является центральным углом и опирается на дугу ABC.

Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°, откуда получаем:

∠BCO = 360° - (134°+75°+92°) = 59°.

 

Ответ: 59.

 

 

1 2