Геометрия

 

Задача 1 (ГИА - 2014)

 

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 358°. Найдите меньший угол трапеции.

 

Решение

geom_polygon_1

Так как в любой трапеции ∠A+∠D = 180° и ∠B+∠C = 180°.

Поэтому ∠C+∠D = 358°.

Так как трапеция равнобедренная, то ∠C = ∠D, а ∠A=∠B.

Тогда ∠C = ∠D = 358/2 = 179°.

А значит ∠A=∠B = 180° - 179° = 1°.

 

Ответ : 1.

 

Задача 2 (ГИА - 2014)

 

На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 70 и AD = 94, отмечена точка E, так что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

 

Решение

geom_polygon_2

Треугольник ABE - прямоугольный. Так как ∠EAB= 45°, то ∠AEB= 45°.

Значит треугольник ABE - равнобедренный и AB = BE = 70. Тогда EC = 94-70 = 24.

Найдем ED из прямоугольного треугольника DEC по теореме Пифагора:

ED2 = EC2+CD2,

ED2 = 242+702 = 5476,

ED = 74.

 

Ответ : 74.

 

Задача 3  (ГИА - 2014)

 

Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 43°. Ответ дайте в градусах.

 

Решение

geom_polygon_3

По условию ∠AEB = 43°.

∠AEB = ∠EAD = 43° (как накрест лежащие).

∠EAD = ∠BAE =43° (так как AE - биссектриса угла A).

Тогда ∠A = 2*43 = 86°.

 

Ответ: 86.

 

 

Задача 4 (ГИА - 2014)

 

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании. Найдите меньшее основание.

 

Решение

geom_polygon_4

Нам дано: AB = 15, DH = 5, ∠A = 45°. Нужно найти DC.

Так как ∠A = 45° и треугольник ADH - прямоугольный, то ∠ADH = 45°. Значит треугольник ADH - равнобедренный и AH = DH = 5.

Так как трапеция равнобедренная, то AH = KB = 5.

DC = AB - AH - KB = 15-10 = 5.

 

Ответ: 5.

 

Задача 5 (ГИА - 2014)

 

Площадь ромба равна 2, а периметр равен 8. Найдите высоту ромба.

 

Решение

Пусть a - сторона ромба, h - высота.

Периметр P = 4a = 8, откуда a = 2.

Площадь ромба S = ah = 2.

Тогда 2h = 2, откуда получаем, что h = 1.

 

Ответ: 1.

 

1 2