Геометрия

 

Задача 1 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

В треугольнике ABC AB = BC = 35, AC = 42. Найдите длину медианы BM.

 

Решение

geom_triangle_1

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Значит, медиана BM является также высотой.

Из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора получаем:

BM2+MC2 = BC2, MC = 1/2 AC = 21.

BM2 = 352 - 212,

BM2 = (35-21)(35+21),

BM2 = 14*56 = 2*7*7*8 = 49*16,

BM = 7*4 = 28.

 

Ответ : 28.

 

Задача 2 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

Периметр равнобедренного треугольника равен 250, а боковая сторона -85. Найдите площадь треугольника.

 

Решение

geom_triangle_1

По условию AB = BC = 85. BM - высота, а значит и медиана.

AB+BA+AC = 250, AC = 250 - 170 = 80.

Из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора получаем:

BM2+MC2 = BC2, MC = 1/2 AC = 40.

BM2 = 852 - 402,

BM2 = (85-40)(85+40),

BM2 = 45*125 = 5*9*25*5 = 625*9,

BM = 25*3 = 75.

S = 1/2 * 80 * 75 = 40*75 = 3000

 

Ответ : 3000.

 

Задача 3  (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC = 53 и BC = BM. Найдите AH.

 

Решение

geom_triangle_2

Так как BM - медиана, то AM = MC = 1/2 AC = 53/2.

Так как BC = BM, то треугольник MBC - равнобедренный и высота BH является медианой.

Значит MH = HC = 1/2 MC = 1/2*53/2 = 53/4.

AH = AM+MH = 53/2+53/4 = 159/4 = 39,75.

 

Ответ: 39,75.

 

 

Задача 4 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

В треугольнике ABC DE - средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 67. Найдите площадь треугольника ABC.

 

Решение

geom_triangle_3

Так как DE - средняя линия треугольника ABC, то DE = 1/2 AB.

Треугольника CDE подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия k = 1/2.

Значит, площади этих треугольников относятся как k2 = 1/4.

SABC = 4* SCDE = 4*67 = 268.

 

Ответ: 268.

 

Задача 5 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

 

Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и √295. Найдите гипотенузу.

 

Решение

По теореме Пифагора получим:

c2 = 272+295,

c2 = 1024,

c = 32.

 

Ответ: 32.

 

1 2 3 4