Геометрия

 

Задача 11 (ГИА - 2014)

 

Высота равностороннего треугольника равна 97√3. Найдите его периметр.

 

Решение

Пусть a - сторона равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника равна a√3/2.

Значит a√3/2 = 97√3, откуда a = 97*2 = 194.

Тогда периметр треугольника равен P = 3a = 3*194 = 582.

 

Ответ : 582.

 

Задача 12 (ГИА - 2014)

 

Катеты прямоугольного треугольника равны 6√11 и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

 

Решение

geom_triangle_6

Пусть AC = 6√11, BC = 2. Найдем гипотезнузу AB.

AB2 = AC2+BC2,

AB2 = 36*11+4 = 400,

AB = 20.

Так как катет BC меньше катета AC, то ∠A - наименьший острый угол в треугольнике ABC.

Тогда sinA = BC/AB = 2/20 = 0,1.

 

Ответ : 0,1.

 

Задача 13  (ГИА - 2014)

 

Площадь прямоугольного треугольника равна √3/2. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

 

Решение

geom_triangle_6

Пусть ∠A = 30°. Тогда ∠B = 60°.

Так как катет BC лежит против угла в 30°, то BC = 1/2 AB.

SABC = 1/2*BC*AB*sinB = 1/2*1/2*AB2*sin60° = 1/4*√3/2*AB2.

√3/2 = 1/4*√3/2*AB2, откуда AB2 = 4 и AB = 2.

 

Ответ: 2.

 

 

Задача 14 (ГИА - 2014)

 

Периметр равнобедренного треугольника равен 324, а основание - 160. Найдите площадь треугольника.

 

Решение

geom_triangle_1

Пусть AB = BC. Тогда AC = 160. P = 324.

Тогда AB = BC = (324-160)/2 = 82.

BM является высотой и медианой. MC = AM = 1/2 AC = 80. Найдем BM из треугольника BMC по теореме Пифагора:

BC2 = BM2+MC2,

BM2 = 822 - 802 = (82-80)(82+80) = 2*162 = 324.

BM = 18.

Поэтому S = 1/2 * AC * BM = 1/2 * 160 *18 = 80*18 = 1440.

 

Ответ: 1440.

 

Задача 15 (ГИА - 2014)

 

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CMN равна 2. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

 

Решение

geom_triangle_7

MN - средняя линия треугольника ABC, поэтому AB/NM = AC/CN = BC/CM = 2.

Треугольники ABC и CMN подобны и коэффициент подобия k = 2.

Так как площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, то площадь треугольника ABC в 4 раза больше площади треугольника CNM и равна 2*4 = 8.

SABMN = SABC - SCNM = 8-2 = 6.

 

Ответ: 6.

 

1 2 3 4