Реальная математика (2 уровень)

 

Задание 11 (ЕГЭ - 2015)

 

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением \(p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}\), где \(p_1\) и \(p_2\) - давление газа (в атмосферах), \(V_1\) и \(V_2\) - объем газа в литрах. Изначально объем газа равен 1,6 л, а его давление равно 1 атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер?

 

Решение

$$p_2 = 128,~V_2 - ?$$

Так как по условию \(p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}\) и \(p_1 = 1,~V_1 = 1,6\), то получим уравнение:

$$1 \cdot 1,6^{1,4} = 128 \cdot V_2^{1,4},$$

$$1,6^{7/5} = 2^7 \cdot V_2^{7/5},$$

$$1,6^{1/5} = 2 \cdot V_2^{1/5},$$

$$V_2 = \frac{1,6}{2^5} = 0,05.$$

Получаем, что газ нужно сжать до объема 0,05 литров, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер.

 

Ответ: 0,05.

 

Прототип задания 11 (№ 27953)

 

При температуре \(0^{\circ}C\) рельс имеет длину \(l_0 = 10м\). При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t^{\circ}) = l_0(1+\alpha \cdot t^{\circ}),\) где \(\alpha = 1,2 \cdot 10 ^{-5} (^\circ C)^{-1}\) - коэффициент теплового расширения, \(t^{\circ}\) - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

 

Решение

Если рельс удлинится на 3 мм, то его длина станет равна 10,003 м. Получаем уравнение:

$$10,003 = 10 \cdot (1+1,2 \cdot 10 ^{-5}\cdot t),$$

$$10,003 = 10+12\cdot 10 ^{-5}\cdot t,$$

$$10,003 - 10 = 12\cdot 10 ^{-5}\cdot t,$$

$$0,003 = 12\cdot 10 ^{-5}\cdot t,$$

$$3 \cdot 10^{-3} = 12\cdot 10 ^{-5}\cdot t,$$

$$3 = 12\cdot 10 ^{-2}\cdot t,$$

$$0,25 = 10 ^{-2}\cdot t,$$

$$t = 25.$$

 

Ответ: 25.

 

Прототип задания 11 (№ 27954)

 

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют \(\nu = 300\) руб., постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле \(\pi(q) = q(p-\nu)-f\). Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300000 руб.

 

Решение

$$q(500-300)-700 000 = 300 000, $$

$$200q = 1 000 000, $$

$$q = 5000.$$

 

Ответ: 5000.

 

Прототип задания 11 (№ 27955)

 

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5t^2\), где h - расстояние в метрах, t - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

 

Решение

\(h_1 = 5 \cdot 0,6^2 = 1,8.\)

То есть до дождя расстояние до воды составляло 1,8.

\(h_2 = 5 \cdot 0,2^2 = 0,2.\)

После дождя расстояние до воды составило 0,2.

Значит, 1,8 - 0,2 = 1,6.

Уровень воды должен подняться на 1,6.

 

Ответ: 1,6.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14