Прототип задания 11 (№ 27988)
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \(P = \frac{{4mg}}{{\pi D^2 }}\), где m = 1200 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10 м/с\({}^2\), а \(\pi = 3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах.
$$\frac{{4mg}}{{\pi D^2 }} \le 400000,$$
$$\frac{{4 \cdot 1200 \cdot 10}}{{3 D^2 }} \le 400000,$$
$$48000 \le 1 200 000 D^2,$$
$$1 \le 25 D^2,$$
$$D^2 \ge 0,04,$$
$$D \ge 0,2,~D \le -0,2.$$
Наименьший возможный диаметр колонны равен 0,2 метра.
Ответ: 0,2.
Прототип задания 11 (№ 27989)
Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S = 500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{{2mS}}{{t^2 }}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н.Ответ выразите в секундах.
$$\frac{{2mS}}{{t^2 }} \ge 2400,$$
$$\frac{{2 \cdot 2160 \cdot 500}}{{t^2 }} \ge 2400,$$
$$2 160 000 \ge 2400 t^2,$$
$$t^2 \le 900,$$
$$-30 \le t \le 30.$$
Наибольшее время после начала движения автомобиля равно 30 секунд.
Ответ: 30.
Прототип задания 11 (№ 27990)
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k = 10^5 Па\cdot \textrm{м}^{5}\), где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа в кубических метрах, \(k=\dfrac{5}{3}\). Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном \(3,2 \cdot 10^6\) Па.
$$3,2 \cdot 10^6 \cdot V^{\dfrac{5}{3}} = 10^5,$$
$$32 \cdot V^{\dfrac{5}{3}} = 1,$$
$$V^{\dfrac{5}{3}} = \frac{1}{32},$$
$$V^{\dfrac{5}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^5,$$
$$V^{\dfrac{1}{3}} = \frac{1}{2},$$
$$V = \frac{1}{8},$$
$$V = 0,125.$$
Ответ: 0,125.
Прототип задания 11 (№ 27991)
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.
$$m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} = 5,$$
$$40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}} = 5,$$
$$2^{-\frac{t}{10}} = \frac{1}{8},$$
$$2^{-\frac{t}{10}} = 2^{-3},$$
$$-\frac{t}{10} = -3,$$
$$\frac{t}{10} = 3,$$
$$t = 30.$$
Масса изотопа будет равна 5 мг через 30 минут.
Ответ: 30.