Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27988)

 

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \(P = \frac{{4mg}}{{\pi D^2 }}\), где m = 1200 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10 м/с\({}^2\), а \(\pi = 3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах.

 

Решение

$$\frac{{4mg}}{{\pi D^2 }} \le 400000,$$

$$\frac{{4 \cdot 1200 \cdot 10}}{{3 D^2 }} \le 400000,$$

$$48000 \le 1 200 000 D^2,$$

$$1 \le 25 D^2,$$

$$D^2 \ge 0,04,$$

$$D \ge 0,2,~D \le -0,2.$$

Наименьший возможный диаметр колонны равен 0,2 метра.

 

Ответ: 0,2.

 

Прототип задания 11 (№ 27989)

 

Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S = 500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{{2mS}}{{t^2 }}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н.Ответ выразите в секундах.

 

Решение

$$\frac{{2mS}}{{t^2 }} \ge 2400,$$

$$\frac{{2 \cdot 2160 \cdot 500}}{{t^2 }} \ge 2400,$$

$$2 160 000 \ge 2400 t^2,$$

$$t^2 \le 900,$$

$$-30 \le t \le 30.$$

Наибольшее время после начала движения автомобиля равно 30 секунд.

 

Ответ: 30.

 

Прототип задания 11 (№ 27990)

 

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k = 10^5 Па\cdot \textrm{м}^{5}\), где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа в кубических метрах, \(k=\dfrac{5}{3}\). Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном \(3,2 \cdot 10^6\) Па.

 

Решение

$$3,2 \cdot 10^6 \cdot V^{\dfrac{5}{3}} = 10^5,$$

$$32 \cdot V^{\dfrac{5}{3}} = 1,$$

$$V^{\dfrac{5}{3}} = \frac{1}{32},$$

$$V^{\dfrac{5}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^5,$$

$$V^{\dfrac{1}{3}} = \frac{1}{2},$$

$$V = \frac{1}{8},$$

$$V = 0,125.$$

 

Ответ: 0,125.

 

Прототип задания 11 (№ 27991)

 

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

 

Решение

$$m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} = 5,$$

$$40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}} = 5,$$

$$2^{-\frac{t}{10}} = \frac{1}{8},$$

$$2^{-\frac{t}{10}} = 2^{-3},$$

$$-\frac{t}{10} = -3,$$

$$\frac{t}{10} = 3,$$

$$t = 30.$$

Масса изотопа будет равна 5 мг через 30 минут.

 

Ответ: 30.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15