Прототип задания 11 (№ 27992)
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(pV^a = const\), где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
$$V_2 = V/2,~p_2 = 4p,$$
$$4p \cdot \left(\frac{V}{2}\right)^a = pV^a,$$
$$4 \cdot \frac{V^a}{2^a} = V^a,$$
$$\frac{4}{2^a} = 1,$$
$$2^a = 4,$$
$$a = 2.$$
Наименьшее значение константы а равно 2.
Ответ: 2.
Прототип задания 11 (№ 27993)
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением \(p_1V_1^{1,4} = p_2V_2^{1,4}\), где \(p_1\) и \(p_2\) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \(V_1\) и \(V_2\) — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
$$1 \cdot 1,6^{1,4} = 128 \cdot V_2^{1,4}, $$
$$1,6^{\frac{7}{5}} = 2^7 \cdot V_2^{\frac{7}{5}},$$
$$1,6^{0,2} = 2 \cdot V_2^{0,2}, $$
$$1,6 = 2^5 \cdot V_2,$$
$$V_2 = 1,6 : 32,$$
$$V_2 = 0,05.$$
Газ нужно сжать до объема 0,05 литров.
Ответ: 0,05.
Прототип задания 11 (№ 27994)
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C = 2 \cdot 10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R = 5 \cdot 10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0 = 16\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \(t=\alpha RC\log _{2} \frac{{U_0 }}{U}\) (с), где \(\alpha =0,7\) — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.
$$\alpha RC\log _{2} \frac{{U_0 }}{U} = 21,$$
$$0,7 \cdot 5 \cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 10^{-6}\log _{2} \frac{16}{U} = 21, $$
$$7 \log _{2} \frac{16}{U} = 21, $$
$$\log _{2} \frac{16}{U} = 3, $$
$$\frac{16}{U} = 8, $$
$$U = 2.$$
Напряжение на конденсаторе через 21 с после выключения телевизора равно 2 кВ.
Ответ: 2.
Прототип задания 11 (№ 27995)
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_{\text{п}} = 20^\circ {\rm{C}}\), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры \(T_{\text{в}} = 60^\circ {\rm{C}}\) до температуры T, причём \(x = \alpha \frac{{cm}}{\gamma }\log _2 \frac{{T_{\text{в}} - T_{\text{п}} }}{{T - T_{\text{п}} }}\), где \(c = 4200\frac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{{{\text{кг}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}}\) — теплоёмкость воды, \(\gamma = 21\frac{{{\text{Вт}}}}{{{\text{м}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}}\) — коэффициент теплообмена, а \(\alpha=0,7\) — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
$$\alpha \frac{{cm}}{\gamma }\log _2 \frac{{T_{\text{в}} - T_{\text{п}} }}{{T - T_{\text{п}} }} = 84,$$
$$0,7 \cdot \frac{4200 \cdot 0,3}{21}\log _2 \frac{60-20}{T - 20} = 84,$$
$$42\log _2 \frac{40}{T - 20} = 84,$$
$$\log _2 \frac{40}{T - 20} = 2,$$
$$\frac{40}{T - 20} = 4,$$
$$T-20 = 10,$$
$$T = 30.$$
Вода охладится до температуры \(30^\circ\).
Ответ: 30.