Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27992)

 

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(pV^a = const\), где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

 

Решение

$$V_2 = V/2,~p_2 = 4p,$$

$$4p \cdot \left(\frac{V}{2}\right)^a = pV^a,$$

$$4 \cdot \frac{V^a}{2^a} = V^a,$$

$$\frac{4}{2^a} = 1,$$

$$2^a = 4,$$

$$a = 2.$$

Наименьшее значение константы а равно 2.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27993)

 

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением \(p_1V_1^{1,4} = p_2V_2^{1,4}\), где \(p_1\) и \(p_2\) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \(V_1\) и \(V_2\) — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

 

Решение

$$1 \cdot 1,6^{1,4} = 128 \cdot V_2^{1,4}, $$

$$1,6^{\frac{7}{5}} = 2^7 \cdot V_2^{\frac{7}{5}},$$

$$1,6^{0,2} = 2 \cdot V_2^{0,2}, $$

$$1,6 = 2^5 \cdot V_2,$$

$$V_2 = 1,6 : 32,$$

$$V_2 = 0,05.$$

Газ нужно сжать до объема 0,05 литров.

 

Ответ: 0,05.

 

Прототип задания 11 (№ 27994)

 

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C = 2 \cdot 10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R = 5 \cdot 10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0 = 16\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \(t=\alpha RC\log _{2} \frac{{U_0 }}{U}\) (с), где \(\alpha =0,7\) — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

 

Решение

$$\alpha RC\log _{2} \frac{{U_0 }}{U} = 21,$$

$$0,7 \cdot 5 \cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 10^{-6}\log _{2} \frac{16}{U} = 21, $$

$$7 \log _{2} \frac{16}{U} = 21, $$

$$\log _{2} \frac{16}{U} = 3, $$

$$\frac{16}{U} = 8, $$

$$U = 2.$$

Напряжение на конденсаторе через 21 с после выключения телевизора равно 2 кВ.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27995)

 

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_{\text{п}} = 20^\circ {\rm{C}}\), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры \(T_{\text{в}} = 60^\circ {\rm{C}}\) до температуры T, причём \(x = \alpha \frac{{cm}}{\gamma }\log _2 \frac{{T_{\text{в}} - T_{\text{п}} }}{{T - T_{\text{п}} }}\), где \(c = 4200\frac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{{{\text{кг}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}}\) — теплоёмкость воды, \(\gamma = 21\frac{{{\text{Вт}}}}{{{\text{м}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}}\) — коэффициент теплообмена, а \(\alpha=0,7\) — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

 

Решение

$$\alpha \frac{{cm}}{\gamma }\log _2 \frac{{T_{\text{в}} - T_{\text{п}} }}{{T - T_{\text{п}} }} = 84,$$

$$0,7 \cdot \frac{4200 \cdot 0,3}{21}\log _2 \frac{60-20}{T - 20} = 84,$$

$$42\log _2 \frac{40}{T - 20} = 84,$$

$$\log _2 \frac{40}{T - 20} = 2,$$

$$\frac{40}{T - 20} = 4,$$

$$T-20 = 10,$$

$$T = 30.$$

Вода охладится до температуры \(30^\circ\).

 

Ответ: 30.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15