Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27996)

 

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\upsilon= 3\) моля воздуха объёмом \(V_1=8\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \upsilon T\log _2 \frac{{V_1 }}{{V_2 }}\), где \(\alpha=5,75 \frac{\textrm{Дж}}{\textrm{моль} \cdot \textrm{К}}\) — постоянная, а T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж.

 

Решение

$$\alpha \upsilon T\log _2 \frac{{V_1 }}{{V_2 }} = 10350,$$

$$5,75 \cdot 3 \cdot 300\log _2 \frac{8}{V_2 } = 10350,$$

$$5175\log _2 \frac{8}{V_2 } = 10350, $$

$$\log _2 \frac{8}{V_2} = 2, $$

$$\frac{8}{V_2} = 4,$$

$$V_2 = 2.$$

Воздух станет занимать объем 2 литра.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27997)

 

Водолазный колокол, содержащий \(\upsilon = 2\) моля воздуха при давлении \(p_1 = 1,5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \upsilon T\log _2 \frac{{p_2 }}{{p_1 }}\), где \(\alpha=5,75 \frac{\textrm{Дж}}{\textrm{моль} \cdot \textrm{К}}\) — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

 

Решение

$$\alpha \upsilon T\log _2 \frac{{p_2 }}{{p_1 }} = 6900,$$

$$5,75 \cdot 2 \cdot 300\log _2 \frac{p_2}{1,5} = 6900,$$

$$3450\log _2 \frac{p_2}{1,5} = 6900, $$

$$\log _2 \frac{p_2}{1,5} = 2, $$

$$\frac{p_2}{1,5} = 4,$$

$$p_2 = 6.$$

Воздух в колоколе будет иметь давление 6 атмосфер.

 

Ответ: 6.

 

Прототип задания 11 (№ 27998)

 

Мяч бросили под острым углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{{2v_0 \sin \alpha }}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0= 30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с\({}^2\).

 

Решение

$$\frac{{2v_0 \sin \alpha }}{g} = 3,$$

$$\frac{{2 \cdot 30 \sin \alpha }}{10} = 3,$$

$$60 \sin \alpha = 30,$$

$$ \sin \alpha = 0,5,$$

$$\alpha = 30^{\circ}.$$

 

Ответ: 30.

 

Прототип задания 11 (№ 27999)

 

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в \(Н\cdot\)м) определяется формулой \(M = NIBl^2 \sin \alpha\), где \(I = 2{\rm{A}}\) — сила тока в рамке, \(B = 3 \cdot 10^{-3}\) Тл — значение индукции магнитного поля, l =0,5 м — размер рамки, N = 1000 — число витков провода в рамке, \(\alpha\) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше \(0,75 Н\cdot\)м?

 

Решение

$$NIBl^2 \sin \alpha = 0,75,$$

$$1000 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 10^{-3} \cdot 0,5^2 \sin \alpha = 0,75,$$

$$1,5\sin \alpha = 0,75,$$

$$\sin \alpha = 0,5,$$

$$\alpha = 30^{\circ}.$$

 

Ответ: 30.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15