Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27956)

 

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 100 - 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p) = q \cdot p\). Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) оставит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

 

Решение

$$r = q \cdot p = (100 - 10p)\cdot p,$$

$$r = 100p - 10p^2.$$

$$100p - 10p^2 \ge 240, $$

$$p^2 - 10p+24 \le 0,$$

$$4 \le p \le 6. $$

Значит, наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб., равна 6 тыс. руб.

 

Ответ: 6.

 

Прототип задания 11 (№ 27957)

 

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2\), где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

 

Решение

Найдем моменты времени, в которые мяч будет находится на высоте 3 метра:

$$1,6 + 8t - 5t^2 = 3,$$

$$5t^2 - 8t+1,4 = 0,$$

$$t_1 = 0,2,~t_2 = 1,4.$$

Первый раз мяч достигнет высоты 3 метра над землей через 0,2 секунды, второй раз (когда будет падать) - через 1,4 секунды (отсчитывая от момента броска).

Поэтому мяч будет находится на высоте не менее 3 метров в течение 1,4 - 0,2 = 1,2 сек.

 

Ответ: 1,2.

 

Прототип задания 11 (№ 27958)

 

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P = m(\frac{v^2}{L}-g)\), m - масса воды в килограммах, v - скорость движения ведeрка в м/с, L - длина верeвки в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

 

Решение

Для того, чтобы вода не выливалась, нужно, чтобы в верхней точке P = 0. Поэтому

$$\frac{v^2}{L}-g = 0,$$

$$\frac{v^2}{0,4}-10 = 0,$$

$$v^2 = 4,~v = 2.$$

Наименьшая скорость равна 2 м/с.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27959)

 

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt+ \frac{g}{2}k^2t^2\), где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0 = 20\)м — начальная высота столба воды, k = 1/50 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

 

Решение

В баке останется четверть первоначального объема воды, то есть \(1/4 \cdot H_0 = 1/4 \cdot 20 = 5\)м.

$$5 = 20 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20}\cdot (1/50) \cdot t + \frac{10}{2}\cdot (1/50)^2t^2,$$

$$5 = 20 - 0,4t+ 1/500 t^2,$$

$$t^2 - 200t+7500 = 0,$$

$$t_1 = 50,~t_2 = 150.$$

Через 50 секунд H станет равно 5 метрам.

 

Ответ: 50.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15