Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27960)

 

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = at^2+bt+H_0,\) где \(H_0 = 4\)м - начальный уровень воды, \(a = 1/100 \) м/мин2, и b = -2/5 м/мин - постоянные, t - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

 

Решение

Когда вода полностью вытечет и бака, H будет равно 0. Получаем уравнение:

$$(1/100)t^2 - 2/5t+4 = 0,$$

$$t^2 - 40t+400 = 0,$$

$$t = 20.$$

То есть вода будет вытекать из бака в течение 20 минут.

 

Ответ: 20.

 

Прототип задания 11 (№ 27961)

 

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(y = ax^2+bx\), где a = -1/100 м-1, b = 1 - постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

 

Решение

Имеем уравнение:

$$9 \le -0,01x^2+x,$$

$$x^2-100x+900 \le 0,$$

$$10\le x \le 90.$$

Наибольшее возможное расстояние равно 90.

 

Ответ: 90.

 

Прототип задания 11 (№ 27962)

 

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: \(T(t) = T_0 + bt+ at^2\), где t - время в минутах, \(T_0 = 1400 K\), a = -10 K/мин2, b = 200 K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

 

Решение

$$1760 \ge 1400 + 200t-10t^2,$$

$$t^2 - 20t+36 \ge 0,$$

$$t_1 \ge 18,~t_2 \le 2.$$

Прибор нужно отключить через 2 минуты. Это первое значение t, при котором T станет равным 1760.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27963)

 

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\phi = \omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где t - время в минутах, \(\omega = 20^\circ\)/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta = 4^\circ\)/мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\phi\) достигнет \(1200^\circ\).Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

 

Решение

$$1200 = 20t+\frac{4t^2}{2},$$

$$20t+2t^2 = 1200,$$

$$t^2+10t - 600 = 0,$$

$$t_1 = 20,~t_2 = -30.$$

Значит рабочий должен проверить работу не позднее, чем через 20 минут после начала работы лебедки.

 

Ответ: 20.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15