Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27964)

 

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 57\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 12\) км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением \(S = v_0t+\frac{at^2}{2}\).Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

 

Решение

$$30 = 57t+\frac{12t^2}{2},$$

$$6t^2+57t - 30 = 0,$$

$$t_1 - 0,5,~t_2 = -10.$$

Значит, наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, равно 0,5 ч.

0,5 часа = 0,5*60 = 30 минут.

 

Ответ: 30.

 

Прототип задания 11 (№ 27965)

 

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью \(v_0 = 20\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 5\) м/с2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь \(S = v_0t-\frac{at^2}{2}\)(м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

 

Решение

$$30 = 20t - \frac{5t^2}{2},$$

$$5t^2 - 40t+60 = 0,$$

$$t_1 = 6,~t_2 = 2.$$

За 2 секунды автомобиль уже проедет 30 метров, поэтому искомое время равно 2 с.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27966)

 

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m = 8\) кг и радиуса \(R = 10\) см, и двух боковых с массами \(M = 1\) кг и с радиусами \(R+h\). При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг\(\cdot\)см2, даeтся формулой \(I = \frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2).\) При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг\(\cdot\)см2? Ответ выразите в сантиметрах.

 

Решение

$$\frac{(8+2)\cdot 10^2}{2}+1\cdot (2\cdot 10\cdot h+h^2) \le 625,$$

$$500+20h+h^2 \le 625,$$

$$h^2+20h-125 \le 0,$$

$$-25 \le h \le 5.$$

Значит, максимальное значение h, при котором момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг\(\cdot\)см2, равно 5 см.

 

Ответ: 5.

 

Прототип задания 11 (№ 27967)

 

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_A = \rho g l^3\), где l — длина ребра куба в метрах, \(\rho = 1000\) кг/м3 — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 9,8\) Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78 400 Н? Ответ выразите в метрах.

 

Решение

$$1000\cdot 9,8 \cdot l^3 \le 78400, $$

$$9800 l^3 \le 78400,$$

$$l^3 \le 8,$$

$$l \le 2.$$

Максимальная длина ребра куба составляет 2 метра.

 

Ответ: 2.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15