Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27968)

 

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_A = \alpha \rho g r^3,\) где \(\alpha = 4,2\) — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, \(\rho 1000\) кг/см3 — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 Н/кг).Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ выразите в метрах.

 

Решение

$$4,2 \cdot 1000 \cdot 10 \cdot r^3 \le 336000,$$

$$42r^3 \le 336,$$

$$r^3 \le 8,$$

$$r \le 2.$$

Поэтому максимальный радиус может быть равен 2 м.

 

Ответ: 2.

 

Прототип задания 11 (№ 27969)

 

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому \(P = \sigma S T^4\), где P — мощность излучения звезды, \(\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}~\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot K^4}\)— постоянная, S — площадь повехности звезды, а T — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{16} \cdot 10^{20}~ \text{м}^2\), а мощность её излучения равна \(9,12 \cdot 10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

 

Решение

$$9,12 \cdot 10^{25} = 5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20} \cdot T^4,$$

$$912 \cdot 10^{23} = 5,7 \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{12} \cdot T^4,$$

$$912 \cdot 10^{11} = 5,7 \cdot \frac{1}{16} \cdot T^4,$$

$$160 \cdot 10^{11} = \frac{1}{16} \cdot T^4,$$

$$16 \cdot 10^{12} = \frac{1}{16} \cdot T^4,$$

$$2 \cdot 10^3 = \frac{1}{2} \cdot T,$$

$$T = 4000.$$

 

Ответ: 4000.

 

Прототип задания 11 (№ 27970)

 

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние \(d_1\)от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\)от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

 

Решение

Чтобы расстояние от линзы до лампочки было наименьшим, нужно, чтобы расстояние от линзы до экрана было наибольшим. По условию наибольшее возможное расстояние от линзы до экрана равно 180 см. Получаем:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{180} = \frac{1}{30},$$

$$\frac{1}{d_1} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180},$$

$$\frac{1}{d_1} = \frac{5}{180},$$

$$d_1 = \frac{180}{5} = 36.$$

36 находится в пределах от 30 до 50 см.

Поэтому наименьшее расстояние от линзы, на котором можно поместить лампочку, равно 36 см.

 

Ответ: 36.

 

Прототип задания 11 (№ 27971)

 

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0\) = 440 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}\)(Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.

 

Решение

$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} - 440 \ge 10, $$

$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} \ge 450, $$

$$\frac{440 \cdot 315}{315-v}\ge 450,$$

$$\frac{44 \cdot 7}{315-v}\ge 1,$$

$$\frac{308}{315-v} - 1\ge 0,$$

$$\frac{308 - 315+v}{315-v}\ge 0,$$

$$\frac{v - 7}{315-v}\ge 0,$$

$$\frac{v - 7}{v - 315}\le 0,$$

$$7 \le v \le 315.$$

Значит, минимальная скорость, с которой приближался к платформе тепловоз, равна 7 м/с.

 

Ответ: 7.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15