Прототип задания 11 (№ 27968)
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_A = \alpha \rho g r^3,\) где \(\alpha = 4,2\) — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, \(\rho 1000\) кг/см3 — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 Н/кг).Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ выразите в метрах.
$$4,2 \cdot 1000 \cdot 10 \cdot r^3 \le 336000,$$
$$42r^3 \le 336,$$
$$r^3 \le 8,$$
$$r \le 2.$$
Поэтому максимальный радиус может быть равен 2 м.
Ответ: 2.
Прототип задания 11 (№ 27969)
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому \(P = \sigma S T^4\), где P — мощность излучения звезды, \(\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}~\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot K^4}\)— постоянная, S — площадь повехности звезды, а T — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{16} \cdot 10^{20}~ \text{м}^2\), а мощность её излучения равна \(9,12 \cdot 10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.
$$9,12 \cdot 10^{25} = 5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20} \cdot T^4,$$
$$912 \cdot 10^{23} = 5,7 \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{12} \cdot T^4,$$
$$912 \cdot 10^{11} = 5,7 \cdot \frac{1}{16} \cdot T^4,$$
$$160 \cdot 10^{11} = \frac{1}{16} \cdot T^4,$$
$$16 \cdot 10^{12} = \frac{1}{16} \cdot T^4,$$
$$2 \cdot 10^3 = \frac{1}{2} \cdot T,$$
$$T = 4000.$$
Ответ: 4000.
Прототип задания 11 (№ 27970)
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние \(d_1\)от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\)от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Чтобы расстояние от линзы до лампочки было наименьшим, нужно, чтобы расстояние от линзы до экрана было наибольшим. По условию наибольшее возможное расстояние от линзы до экрана равно 180 см. Получаем:
$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{180} = \frac{1}{30},$$
$$\frac{1}{d_1} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180},$$
$$\frac{1}{d_1} = \frac{5}{180},$$
$$d_1 = \frac{180}{5} = 36.$$
36 находится в пределах от 30 до 50 см.
Поэтому наименьшее расстояние от линзы, на котором можно поместить лампочку, равно 36 см.
Ответ: 36.
Прототип задания 11 (№ 27971)
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0\) = 440 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}\)(Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.
$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} - 440 \ge 10, $$
$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} \ge 450, $$
$$\frac{440 \cdot 315}{315-v}\ge 450,$$
$$\frac{44 \cdot 7}{315-v}\ge 1,$$
$$\frac{308}{315-v} - 1\ge 0,$$
$$\frac{308 - 315+v}{315-v}\ge 0,$$
$$\frac{v - 7}{315-v}\ge 0,$$
$$\frac{v - 7}{v - 315}\le 0,$$
$$7 \le v \le 315.$$
Значит, минимальная скорость, с которой приближался к платформе тепловоз, равна 7 м/с.
Ответ: 7.