Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27972)

 

По закону Ома для полной цепи сила тока , измеряемая в амперах, равна \(I = \frac{\varepsilon}{R+r}\), где \(\varepsilon\) — ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания \(I_{\text{кз}} = \frac{\varepsilon }{r}?\) (Ответ выразите в омах.)

 

Решение

Так как сила тока должна составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания, то получаем неравенство

$$\frac{\varepsilon}{R+r} \le 0,2 \cdot \frac{\varepsilon }{r},$$

$$\frac{\varepsilon}{R+1} \le 0,2 \cdot \frac{\varepsilon }{1},$$

$$\frac{1}{R+1} \le 0,2 ,$$

$$R+1 \ge 5,$$

$$R \ge 4.$$

Значит искомое наименьшее сопротивление цепи равно R = 4 Ома.

 

Ответ: 4.

 

Прототип задания 11 (№ 27973)

 

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: \(I = \frac{U}{R}\), где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

 

Решение

По условию U = 220, \(I \le 4\). Тогда

$$\frac{220}{R} \le 4,$$

$$R \ge \frac{220}{4},$$

$$R \ge 55.$$

У электроприбора должно быть минимальное сопротивление, равное 55 Ом.

 

Ответ: 55.

 

Прототип задания 11 (№ 27974)

 

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле \(A(\omega ) = \frac{{A_0 \omega_p^2 }}{{|\omega_p^2 - \omega^2|}}\), где \(\omega\) — частота вынуждающей силы (в \(\text{c}^{-1}\) ), \(A_0\) — постоянный параметр, \(\omega_p = 360~\text{c}^{-1}\) — резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\omega\) , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \(A_0\) не более чем на \(12,5\%\). Ответ выразите в \(\text{c}^{-1}\).

 

Решение

По условию \(A \le 1,125 A_0.\)

$$\frac{{A_0 \cdot 360^2 }}{{|360^2 - \omega ^2|}} \le 1,125 A_0,$$

$$\frac{360^2 }{|360^2 - \omega^2|} \le 1,125,$$

$$\frac{360 \cdot 320 }{|360^2 - \omega^2|} \le 1,$$

$$|360^2 - \omega^2| \ge 360 \cdot 320, $$

$$360^2 - \omega^2 \ge 360 \cdot 320,~360^2 - \omega^2 \le -360 \cdot 320,$$

$$\omega^2 \le 360^2 - 360 \cdot 320,~\omega^2 \ge 360^2+360 \cdot 320,$$

$$\omega^2 \le 360 \cdot(360 - 320),~\omega^2 \ge 360 \cdot(360+320),$$

$$-120 \le \omega \le 120,~\omega \ge 494,77..., \omega \le -494,77...,$$

Так как нужно найти максимальную частоту, меньшую резонансной, то получам, что \(\omega = 120~\text{c}^{-1}\).

 

Ответ: 120.

 

Прототип задания 11 (№ 27975)

 

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет \(R_{1}=90\) Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление \(R_{2}\) этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями \(R_{1}\) и \(R_{2}\) их общее сопротивление задаeтся формулой \(R_{\text{общ}} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}\), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

 

Решение

$$\frac{90\cdot R_{2}}{90+ R_{2}} \ge 9,$$

$$\frac{10\cdot R_{2}}{90+ R_{2}} \ge 1,$$

$$90+ R_{2} \le 10\cdot R_{2},$$

$$9 R_2 \ge 90,$$

$$R_2 \ge 10.$$

Значит, наименьшее возможное сопротивление \(R_2 = 10\).

 

Ответ: 10.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15