Реальная математика (2 уровень)

 

Задание 11 (Типовые экзаменационные варианты - 2015)

 

Высота над землей подброшенного вверх мячаменяется по закону \(h(t) = 1+11t-5t^2,\) где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 м?

 

Решение

Найдем моменты времени, в которые мяч находился на высоте 3 метра:

$$1+11t-5t^2 = 3,$$

$$5t^2 - 11t+2 = 0,$$

$$t_1 = 2,~t_2 = 0,2.$$

$$2 - 0,2 = 1,8.$$

То есть мяч находился на высоте не менее 3 м в течение 1,8 секунд.

 

Ответ: 1,8.

 

Задание 11 (Типовые экзаменационные варианты - 2015)

 

Высота над землей подброшенного вверх мячаменяется по закону \(h(t) = 1,8+10t-5t^2,\) где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 м?

 

Решение

Найдем моменты времени, в которые мяч находился на высоте 6 метров:

$$1,8+10t-5t^2 = 6,$$

$$5t^2 - 10t+4,2 = 0,$$

$$t_1 = 0,6,~t_2 = 1,4.$$

$$1,4 - 0,6 = 0,8.$$

То есть мяч находился на высоте не менее 6 м в течение 0,8 секунд.

 

Ответ: 0,8.

 

Задание 11 (Типовые экзаменационные варианты - 2015)

 

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле \(v = c\frac{f-f_0}{f+f_0}\), где c = 1500 м/с - скорость звука в воде, \(f_0 - \) частота испускаемых импульсов (в МГц), f - частота отраженного от дна сигнал, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 5 м/с. Ответ выразите в МГц.

 

Решение

$$c\frac{f-f_0}{f+f_0} \le 5,$$

$$1500 \cdot \frac{f-299}{f+299} \le 5,$$

$$300 \cdot \frac{f-299}{f+299} \le 1,$$

$$300(f-299) \le f+299,$$

$$299f \le 299+300 \cdot 299,$$

$$299f \le 299(1+300),$$

$$f \le 301.$$

Значит, наибольшая возможная частота отраженного сигнала равна 301 МГц.

 

Ответ: 301.

 

Задание 11 (Типовые экзаменационные варианты - 2015)

 

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 148 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле \(v = c\frac{f-f_0}{f+f_0}\), где c = 1500 м/с - скорость звука в воде, \(f_0 - \) частота испускаемых импульсов (в МГц), f - частота отраженного от дна сигнал, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 20 м/с. Ответ выразите в МГц.

 

Решение

$$c\frac{f-f_0}{f+f_0} \le 20,$$

$$1500 \cdot \frac{f-148}{f+148} \le 20,$$

$$75 \cdot \frac{f-148}{f+148} \le 1,$$

$$75(f-148) \le f+148,$$

$$74f \le 148+75 \cdot 148,$$

$$74f \le 148(1+75),$$

$$f \le 152.$$

Значит, наибольшая возможная частота отраженного сигнала равна 152 МГц.

 

Ответ: 152.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15