Реальная математика (2 уровень)

 

Прототип задания 11 (№ 27980)

 

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0 = 150\) Гц и определяется следующим выражением: \(f =f_0 \frac{c + u}{c - v}\) (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=10 м/с и v=15 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 160 Гц?

 

Решение

$$f_0 \frac{c + u}{c - v} \ge 160,$$

$$150\frac{c + 10}{c - 15} \ge 160,$$

$$15\frac{c + 10}{c - 15} \ge 16,$$

$$15(c+10) \ge 16 (c-15),$$

$$15c+150 \ge 16c - 240,$$

$$c \le 390.$$

Максимальная скорость c = 390 м/с.

 

Ответ: 390.

 

Прототип задания 11 (№ 27981)

 

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле \(v = c\cdot \frac{f - f_0 }{f + f_0 }\), где c=1500 м/с — скорость звука в воде, \(f_0\) — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

 

Решение

$$c\cdot \frac{f - f_0 }{f + f_0 } = 2,$$

$$1500 \cdot \frac{f-749}{f+749} = 2,$$

$$1500(f-749) = 2(f+749),$$

$$750f - 750 \cdot 749 = f+749,$$

$$749f = 749(1+750),$$

$$749f = 749 \cdot 751,$$

$$f = 751.$$

То есть частота отраженного сигнала равна 751 МГц.

 

Ответ: 751.

 

Прототип задания 11 (№ 27982)

 

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч\({}^2\). Скорость v вычисляется по формуле \(v = \sqrt {2la}\), где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться , чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч\({}^2\).

 

Решение

$$100 = \sqrt {2\cdot 1 \cdot a},$$

$$100 00 = 2a,$$

$$a = 5000.$$

Автомобиль должен двигаться с ускорением 5000 км/ч\({}^2\).

 

Ответ: 5000.

 

Прототип задания 11 (№ 27983)

 

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону \(l = l_0 \sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}}\), где \(l_0 = 5\) м — длина покоящейся ракеты, \(c = 3 \cdot 10^5\) км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

 

Решение

$$l_0 \sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} \le 4,$$

$$5\sqrt {1 - \frac{v^2}{9 \cdot 10^10 }} \le 4,$$

$$\sqrt {1 - \frac{v^2}{9 \cdot 10^10 }} \le 0,8,$$

$$1 - \frac{v^2}{9 \cdot 10^10 } \le 0,64,$$

$$\frac{v^2}{9 \cdot 10^10 } \ge 0,36,$$

$$v^2 \ge 324 \cdot 10^8,$$

$$v \ge 18 \cdot 10^4, ~ v \le -18 \cdot 10^4.$$

Минимальная скорость ракеты должна быть 180000 км/с.

 

Ответ: 180000.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15