Текстовые задачи

 

Задание 19 (Диагностическая работа, февраль 2015)

 

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

 

Решение

Другими словами, нужно узнать, начиная с какого года выгоднее получать доход от процентов в банке, нежели от хранения этой ценной бумаги.

Если ценная бумага будет находится у Алексея n лет, то через n лет он получит 7+2n тыс. рублей. Пусть на (n+1) - й год Алексей положил деньги в банк. Найдем, каким должно быть число n, чтобы это было наиболее выгодным вложением:

(7+2n)*1,1>7+2n+2,

7,7 + 2,2 n > 9+2n,

0,2n>1,3,

n>6,5.

Так как Алексей положил деньги в банк на (n+1) год, то максимальную прибыль он получит, если положит деньги в банк на 8 год.

 

Ответ: в течение восьмого года.

 

Задание 19 (Диагностическая работа, февраль 2015)

 

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс.рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

 

Решение

Другими словами, нужно узнать, начиная с какого года выгоднее получать доход от процентов в банке, нежели от хранения этой ценной бумаги.

Если ценная бумага будет находится у Алексея n лет, то через n лет он получит 8+n тыс. рублей. Пусть на (n+1) - й год Алексей положил деньги в банк. Найдем, каким должно быть число n, чтобы это было наиболее выгодным вложением:

(8+n)*1,08>8+n+1,

8,64 + 1,08 n > 9+n,

0,08n>0,36,

n>4,5.

Так как Алексей положил деньги в банк на (n+1) год, то максимальную прибыль он получит, если положит деньги в банк на 6 год.

 

Ответ: в течение шестого года.

 

Задание 19 (Подготовка к ЕГЭ, профильный уровень, Ященко)

 

Петр хочет взять в кредит 1,3 млн руб. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Петр взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 340 тысяч рублей?

 

Решение

За 1 год Петр будет должен банку 1 300 000 *1,1 = 1 430 000. Пусть каждый год Петр погашает 340 000 рублей (максимально возможную сумму). Тогда остаток долга равен 1 430 000 - 340 000 = 1 090 000.

В конце 2 года Петр должен банку 1 090 000*1,1 = 1 199 000. После погашения остается сумма 1 199 000 - 340 000 = 859 000 рублей.

В конце 3 года долг банку будет составлять 859 000*1,1 = 944 900 рублей. После погашения получаем: 944 900 - 340 000 = 604 900 рублей.

Конец 4 года: 604 900*1,1 = 665 390 - долг банку. 665 390 - 340 000 = 325 390 - остаток.

Конец 5 года: 325 390 * 1,1 = 357 929 - долг банку. 357 929 - 340 000 = 17 929 - остаток.

И оставшуюся часть денег Петр погасит за 6 год. Значит, кредит нужно брать минимум на 6 лет.

 

Ответ: 6.

 

Задание 19 (Подготовка к ЕГЭ, профильный уровень, Ященко)

 

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

 

Решение

Пусть каждый месяц Андрей Владимирович платит максимальную сумму банку - 220 000 рублей. В этом случае он выплатит весь за долг за минимальное количество месяцев. За 1 месяц долг банку составляет: 1 100 000*1,03 = 1 133 000. После выплаты получаем остаток: 1 133 000 - 220 000 = 913 000 рублей.

За 2 месяц Андрей Владимирович должен банку 913 000*1,03 = 940 390 рублей. После погашения остается сумма 940 390 - 220 000 = 720 390 рублей.

За 3 месяц долг банку будет составлять 720 390*1,03 = 742 001,7 рублей. После погашения получаем: 742 001,7 - 220 000 = 552 001,7 рублей.

За 4 месяц: 552 001,7*1,03 = 537 661,751 - долг банку. 537 661,751 - 220 000 = 317 661,751 - остаток.

За 5 месяц: 317 661,751 * 1,03 = 327 191,6035 - долг банку. 327 191,6035 - 220 000 = 107 191,6035 - остаток.

И оставшуюся часть денег Андрей Владимирович погасит за 6 месяц. Значит, кредит нужно брать минимум на 6 месяцев.

 

Ответ: 6.

 

Задание 19 (Подготовка к ЕГЭ, профильный уровень, Ященко)

 

1 января 2015 года Сергей Иванович взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Сергей Иванович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей?

 

Решение

Пусть каждый месяц Сергей Иванович платит максимальную сумму банку - 200 000 рублей. В этом случае он выплатит весь за долг за минимальное количество месяцев. За 1 месяц долг банку составляет: 1 000 000*1,01 = 1 010 000. После выплаты получаем остаток: 1 010 000 - 200 000 = 810 000 рублей.

За 2 месяц Сергей Иванович должен банку 810 000*1,01 = 818 100 рублей. После погашения остается сумма 818 100 - 200 000 = 618 100 рублей.

За 3 месяц долг банку будет составлять 618 100*1,01 = 624 281 рублей. После погашения получаем: 624 281 - 200 000 = 424 281 рублей.

За 4 месяц: 424 281*1,01 = 428 523,81 - долг банку. 428 523,81 - 200 000 = 228 523,81 - остаток.

За 5 месяц: 228 523,81 * 1,01 = 230 809,0481 - долг банку. 230 809,0481 - 200 000 = 30 809,0481 - остаток.

И оставшуюся часть денег Сергей Иванович погасит за 6 месяц. Значит, кредит нужно брать минимум на 6 месяцев.

 

Ответ: 6.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19