Текстовые задачи

 

Задание 13 (Пробник-2015)

 

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 30 кругов по кольцевой трассе протяженностью 4,9 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на 7 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 49 минут?

 

Решение

Пусть x(км/ч) - средняя скорость второго гонщика, y(км/ч) - средняя скорость первого гонщика.

Тогда скорость удаления равна y-x.

Так как первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 49 минут, то получаем уравнение:

$$\frac{4,9}{y-x} = \frac{49}{60},$$

$$\frac{1}{y-x} = \frac{1}{6},$$

$$y - x = 6.$$

Так как всего каждый из гонщиков проехал 30*4,9 = 147 км и на финишш первый пришел раньше второго на 7 минут, то получаем второе уравнение:

$$\frac{147}{x} - \frac{147}{y} = \frac{7}{60},$$

с учетом того, что y = 6+x, получаем:

$$\frac{21}{x} - \frac{21}{6+x} = \frac{1}{60},$$

$$21(6+x) - 21x = \frac{1}{60} x (6+x),$$

$$x^2+6x-7560 = 0,$$

$$x_1 = 84,~~x_2 = -90.$$

То есть средняя скорость второго гонщика равна 84 км/ч.

 

Ответ: 84.

 

Задание 13 (Подготовка к ЕГЭ - 2015)

 

Двум переводчикам поручили перевести книгу объемом 108 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 58 страниц книги, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 29 дней, а второй свою - за 20. На сколько страниц меньше должен был взять себе первый переводчик (увеличив число страниц второго), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней?

 

Решение

Так как первый переводчик перевел 58 страниц за 29 дней, то его производительность равна 58/29 = 2 (страницы/день).

Второму переводчику досталось 108 - 58 = 50 страниц. И так как он перевел их за 20 дней, то его произодительность равна 50/20 = 2,5 (страницы/день).

Пусть переводчики работали бы одинаковое число дней - x дней с прежней производительностью. Тогда получаем уравнение:

2x+2,5x = 108,

4,5x = 108,

x = 24.

То есть, если бы переводчики работали одинаковое количество дней, то они работали бы 24 дня.

Первый переводчик за 24 дня перевел бы 2*24 = 48 страниц. 58 - 48 = 10.

То есть первый переводчик должен был взять на 10 страниц меньше.

 

Ответ: 10.

 

Задание 13 (II этап мониторинга, Профильный уровень, 2015)

 

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 1600 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 84 рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

 

Решение

Пусть x (%) - годовой процент, который начислял банк по вкладам.

Клиент А:

через год сумма вклада будет равна:

$$1600\cdot(1+\frac{x}{100}),$$

еще через год сумма будет составлять:

$$1600\cdot(1+\frac{x}{100})\cdot(1+\frac{x}{100}) = 1600\cdot(1+\frac{x}{100})^2.$$

Клиент Б:

в этом случае сумма вклада будет равна \(1600\cdot(1+\frac{x}{100})\), т.к. вклад пролежал в банке 1 год.

Так как клиент А. получил на 84 рубля больше клиента Б., то составим и решим уравнение:

$$1600\cdot(1+\frac{x}{100})^2 - 1600\cdot(1+\frac{x}{100}) = 84,$$

введем новую переменную:

$$t=1+\frac{x}{100},$$

тогда уравнение примет вид:

$$1600t^2-1600t-84 = 0,$$

$$400t^2-400t-21 = 0,$$

$$t_1 = 1,05,~~t_2 = -0,05.$$

Значит,

$$1+\frac{x}{100}= 1,05,$$

$$\frac{x}{100} = 0,05,$$

$$x = 5.$$

 

Ответ: 5.

 

Задание 13 (Подготовка к ЕГЭ, типовые варианты - 2015)

 

Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 30 минут. Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая отдельно, если известно, что он сделает это на 25 минут быстрее, чем первый.

 

Решение

Пусть скорость очистки первого фильтра равна x, а скорость очистички второго фильтра - y. Примем цистерну за 1.

Тогда, так как,работая одновременно, фильтры очищают цистерну воды за 30 минут, то получаем первое уравнение:

$$30(x+y) = 1.$$

И так как второй фильтр, работая отдельно, очистит цистерну на 25 минут быстрее, чем первый, то получаем второе уравнение:

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 25,$$

$$y-x = 25xy.$$

Из первого уравения выразим x: \(x = 1/30 - y\). Получим:

$$y - \frac{1}{30}+y = 25y(\frac{1}{30}-y),$$

$$60y - 1 = 25y(1-30y),$$

750y^2+35y - 1 = 0,

$$y_1 = 0,02,~~y_2 = -1/15.$$

Значит скорость второго фильтра равна 0,02.

$$1:0,02 = 50.$$

Значит, второй фильтр очистит цистерну за 50 минут, работая отдельно.

 

Ответ: 50.

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19