Текстовые задачи

 

Прототип Задания B14 (№323852)

 

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

 

Решение

Пусть бассейн - это 1.

x (л/мин) - скорость, с которой наполняет бассейн 1 насос,

y (л/мин) - скорость, с которой наполняет бассейн 2 насос,

z (л/мин) - скорость, с которой наполняет бассейн 3 насос.

Тогда (x+y+z) - скорость, с которой наполняют бассейн все три насоса, работая вместе.

1/(x+y+z) - искомое время.

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут:

9(x+y) = 1,

второй и третий — за 14 минут:

14(y+z) = 1,

первый и третий — за 18 минут:

18(x+z) = 1.

Получаем систему из трех уравнений:

x+y = 1/9,

y+z = 1/14,

x+z = 1/18.

Складывая все три уравения, получим:

2x+2y+2z = 1/9+1/14+1/18,

2(x+y+z) = 5/21,

x+y+z = 5/42,

откуда получаем, что 1/(x+y+z) = 42/5 = 8,4.

 

Ответ: 8,4.

 

Прототип Задания B14 (№323853)

 

Иван и Алексей договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 75 км/ч. Иван в момент разговора находится в 255 км от N-ска и ещё должен по дороге сделать 50-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем?

 

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость, с которой должен ехать Иван.

275/75 = 11/3 (часа) - потребуется Алексею, чтобы доехать до N-ска. Значит, Иван через 11/3 часа должен быть в N-ске.

255/x - время, которое нужно Ивану, чтобы доехать до N-ска,

50/60 = 5/6 - время, которое потратит Иван на остановку.

Получаем:

255/x+5/6 = 11/3,

255/x = 17/6,

x = (255*6)/17,

x = 90.

Т.е. Иван должен ехать со скоростью 90 км/ч.

 

Ответ: 90.

 

Прототип Задания B14 (№323854)

 

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

 

Решение

Пусть 1 - скорость выполнения работы одним рабочим.

x - кол-во дней, которое потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе.

В течение первых 7 дней первая бригада работала со скоростью 16, а вторая - со скоростью 25.

В остальные x дней первая бригада работала со скоростью (16+8) = 24, а вторая бригада - со скоростью (25-8) = 17.

Так как дома были построены одноврменно, то составим и решим уравнение:

7*16+24x = 7*25+17x,

7x = 7*25 - 7*16,

7x = 7(25-16),

x = 9.

Бригадам потребовалось 9 дней, чтобы закончить работу в новом составе.

 

 

Ответ: 9.

 

Прототип Задания B14 (№323855)

 

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

 

Решение

Пусть x (%) - годовой процент, который начислял банк по вкладам.

Клиент А:

через год сумма вклада будет равна:

7700*(1+x/100),

еще через год сумма будет составлять:

7700*(1+x/100)*(1+x/100) = 7700*(1+x/100)2.

Клиент Б:

в этом случае сумма вклада будет равна 7700*(1+x/100), т.к. вклад пролежал в банке 1 год.

Так как клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б., то составим и решим уравнение:

7700*(1+x/100)2 - 7700*(1+x/100) = 847,

введем новую переменную:

t=1+x/100,

тогда уравнение примет вид:

7700t2-7700t-847 = 0,

разделим все уравнение на 77, получим:

100t2-100t-11 = 0,

t1 = 1,1, t2 = -0,1.

Значит, 1+x/100 = 1,1

x/100 = 0,1,

x=10.

 

Ответ: 10.

 

Прототип Задания B14 (№323851)

 

Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

 

Решение

Пусть x (м2/день) - квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.

175/x - количество дней, которое понадобится плиточнику, чтобы уложить 175 м2 плитки.

175/(x+10) - количество дней, которое понадобится плиточнику, чтобы уложить 175 м2 плитки, если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал.

Тогда, т.к. если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше, то составим и решим уравнение:

175/x - 175/(x+10) = 2,

175(x+10)-175x = 2x(x+10),

175x+1750-175x = 2x2+20x,

2x2+20x-1750 = 0,

x2+10x - 875 = 0.

Решая квадратное уравение, получим: x1 = 25, x2 = -35.

Т.е. x = 25.

 

 

Ответ: 25.

 

Прототип Задания B14 (№323850)

 

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Турист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 1 час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 3 км/ч?

 

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске, тогда

(x-3) (км/ч) - скорость туриста на подъеме.

Так как время его движения на спуске составило 1 час, то он прошел 1*x = x км на спуске. Всего он шел 5 часов, значит он на подъем затратил 5-1 = 4 часа.

4(x-3) км - прошел турист на подъеме.

Так как всего он прошел 8 км, то составим и решим уравнение:

4(x-3)+x = 8

5x-12 = 8,

5x = 20,

x = 4 - скорость туриста на спуске.

 

Ответ: 4.

 

Прототип Задания B14 (Лысенко, 2013, №392)

 

При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20%. Сколько процентов прибыли от этой коллекции получал магазин до распродажи?

 

Решение

b13_22

 

Ответ: 100.

 

Прототип Задания B14 (Лысенко, 2013, №393)

 

В связи с подорожанием энергоресурсов фирма по перевозке грузов планировала увеличить тарифы на свои услуги на 30%, но для сохранения прежнего объема заказов ее руководство установило тариф, который составил 90% от первоначально планируемого. На сколько процентов подорожали услуги фирмы?

 

Решение

b13_23

 

Ответ: 17.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19