Текстовые задачи
Прототип Задания B14 (№323849)
Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?
Пусть x(км) - искомое расстояние от точки отправления, место встречи.
Тогда второй человек прошел до встречи (4,4+(4,4-x)) = (8,8-x) км, а первый - x км.
Они шли одинаковое время, значит можем составить уравнеие:
(8,8-x)/3 = x/2,5,
умножим обе части данного уравнения на 7,5
2,5(8,8-x) = 3x,
22-2,5x = 3x,
5,5x = 22,
x=4.
Ответ: 4.
Прототип Задания B14 (№99586)
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Так как каждый следующий год прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом, то прибыль кждый следующий год увлечивалась в 4 раза (300% прибыли+100% уже существующей прибыли за прошлый год, итого - 400% - новая прибыль). Значит, в 2001 году у бизнесмена будет прибыль в 4 раза больше, т.е. 4*5000, а в 2003 году его прибыль составит:
4^3*5000 = 4*4*4*5000 = 320000.
Ответ: 320000.
Прототип Задания B14 (№99585)
Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Пусть x - количество открыток, разница между двумя днями.
Тогда во второй день было подписано (10+x) открыток, а в четвертый - (10+3x).
Так как вся работа была выполнена за 16 дней, то составим и решим уравнение:
10+(10+x)+(10+2x)+...+(10+15x) = 640,
16*10+x+2x+3x+...+15x = 640,
x+2x+3x+...+15x = 640-160,
x+2x+3x+...+15x = 480
x,2x,3x,...,15x - арифметическая прогрессия, количество членов равно 15, a1 = x, a15 = 15x, d = x
x+2x+3x+...+15x = (x+15x)*15/2 = (16x*15)/2 = 8x*15 = 120x,
тогда получим:
120x = 480,
x = 4.
А за четвертый день было подписано 10+3*4 = 22 открытки.
Ответ: 22.
Прототип Задания B14 (№99584)
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Пусть в первый день улитка проползла x м, а каждый день улитка проползает на y м больше, чем в предыдущий день и пусть она ползла всего n дней. Тогда
1 день: x м
2 день: (x+y) м
3 день: (x+2y) м
...
n день (последний день): x+(n-1)y м
Всего улитка проползла x+(x+y)+(x+2y)+...+(x+(n-1)y) = 150,
упростим уравение:
x, x+y,x+2y,x+3y,...,x+(n-1)y - арифметическая прогрессия, первый член прогрессии равен x, последний член равен x+(n-1)y, их количество - n, разность арифметической прогресси d=y. Тогда по формуле суммы арифметической прогрессии получим:
x+(x+y)+(x+2y)+...+(x+(n-1)y) = (x+x+(n-1)y)*n/2 = (2x+(n-1)y)*n/2.
Уравение принимает вид:
(2x+(n-1)y)*n/2 = 150,
2nx+n(n-1)y = 300,
n(2x+(n-1)y) = 300.
Так как в первый и последний день улитка проползала всего 10 метров, то составим уравнение:
x+x+(n-1)y = 10
или
2x+(n-1)y = 10.
Подставим это уравение и получим:
10n = 300,
n=30.
Значит, улитка ползла 30 дней.
Ответ: 30.
Прототип Задания B14 (№99583)
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Пусть каждый день грузовик перевозит на x тонн щебня больше. Тогда
1 день: 2 тонны,
2 день: 2+x тонн,
3 день: 2+x+x = 2+2x тонн,
...
14 день: 2+13x тонн.
Так как вся работа была выполнена за 14 дней и всего было перевезено 210 тонн щебня, то составим и решим уравнение:
2+(2+x)+(2+2x)+...+(2+13x) = 210
по формуле суммы арифметической прогрессии получим (a1 = 2, a14 = 2+13x, d=x, n=14):
(2+(2+13x))*14/2 = 210,
(4+13x)*7 = 210,
4+13x = 30,
13x = 26,
x = 2.
Тогда за 9 день было перевезено 2+8x = 2+16 = 18 тонн щебня.
Ответ: 18.
Прототип Задания B14 (№99582)
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Пусть турист каждый день проходит больше на x км. Тогда по условию в 1 день он прошел 10 км,
2 день: 10+x,
3 день: 10+x+ = 10+2x,
4 день: 10+3x,
...
6 день: 10+5x.
Так как расстояние между городами 120 км и турист шел 6 дней, то составим и решим уравнение:
10+(10+x)+...+(10+5x) = 120.
В левой части полученного уравнение стоит сумма арифметической прогрессии (a1 = 10, a6 = 10+5x, d = x, n = 6). Свернем левую часть уравнения по формуле суммы арифметической прогрессии:
(10+(10+5x))*6/2 = 120,
(5x+20)*3 = 120,
5x+20 = 40,
5x = 20,
x = 4.
Тогда за 3 день турист прошел 10+2x = 10+2*4 = 18 км.
Ответ: 18.
Прототип Задания B14 (Лысенко, 2013, №394)
Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов увеличится чистая прибыль завода, если отпускная цена его продукции возросла на 15%, а ее себестоимость для завода, которая до этого составляла 3/4 отпускной цены, увеличилась на 20%.
Ответ: 10.
Прототип Задания B14 (Лысенко, 2013, №395)
В результате расширения компании сотовой связи и одновременного снижения тарифов на 50% ежемесячный объем продаж ее услуг вырос в 3 раза. Через сколько месяцев дополнительная прибыль, получаемая компанией, компенсирует затраты на расширение, если они составили половину прежнего годового дохода компании?
Ответ: 12.