• Текстовые задачи (B1 - B2)

• Графики и диаграммы

• Планиметрия

• Реальная математика (B4)

• Уравнения

• Значения выражений

• Производная

• Стеореометрия

• Теория вероятностей

• Реальная математика (2 уровень)

• Текстовые задачи (2 уровень)

• Уравнения и системы уравнений (C1)

• Стереометрия (C2)

• Неравенства (C3)

• Планиметрия (C4)

• Задания с параметром (C5)
• Сложные задачи (C6)
• Задание 19 (профильный уровень)

Пусть скорость одного мотоциклиста равна x км/ч, тогда скорость второго мотоциклиста - (x+21) км/ч.

Так как мотоциклисты стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек, то изначально расстояние между ними равно половине длины трассы, т.е. 14/2 = 7 км.

Мотоциклисты движутся в одном направлении, а значит скорость их сближения равна разности их скоростей, т.е. (x+21) - x = 21 км/ч.

Когда мотоциклисты поравняются, один из них проедет на 7 км больше, чем другой (т.е. он проедет столько же, сколько и другой и еще 7 км, которые изначально были между ними).

Время, за которое один из мотоциклистов нагонит эти 7 км равно

7/21 = 1/3 часа = 1/3*60 = 20 минут.

Пусть каждый день Вася решает на x задач больше, чем в предыдущий день.

1 день: 5 задач,

2 день: 5+x задач,

3 день: 5+ x+x = 5+2x задач,

...

14 день: 5+13x задач.

Так как Вася всего решил 434 задачи, то составим и решим уравнение:

5+(5+x)+(5+2x)+...+(5+13x) = 434.

В левой части уравнения стоит сумма арифметической прогрессии (a1 = 5, n=14, a14 = 5+13x). Тогда уравнение примет вид:

(5+5+13x)*14/2 = 434,

(10+13x)*7 = 434,

10+13x = 62

5+13x = 62-5,

5+13x = 57 - количество задач, которое решил Вася в последний день.

Пусть каждый день рабочие увеличивают норму прокладки на x метров.

1 день: 3 м,

2 день: 3+x м,

3 день: 3+ x+x = 3+2x м,

...

10 день: 3+9x м.

Так как длина тоннеля 500 м и вся работа была выполнена за 10 дней, то составим и решим уравнение:

3+(3+x)+(3+2x)+...+(3+9x) = 500.

В левой части уравнения стоит сумма арифметической прогрессии (a1 = 3, n=10, a10 = 3+9x). Тогда уравнение примет вид:

(3+3+9x)*10/2 = 500,

(6+9x)*5 = 500,

6+9x = 100,

3+9x = 100-3,

3+9x = 97 - сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день.

Пусть бригада маляров красила весь забор n дней и каждый день увеличивала норму покраски на x метров. Если в первый день бригада покрасила y метров забора, тогда во второй день она покрасила - (y+x) метров забора, а в последний, n-ый день - (y+(n-1)x) метров.

Так как за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора, то получаем уравнение:

y+(y+(n-1)x) = 60.

И так как длина забора 240 метров, то составим уравнение:

y+(y+x)+...+(y+(n-1)x) = 240.

В левой части данного уравнения стоит сумма n членов арифметической прогрессии (a1 = y, an = y+(n-1)x), тогда по формуле суммы арифметической прогрессии последнее уравнение перепишется в виде:

(y+y+(n-1)x)*n/2 = 240,

(y+y+(n-1)x)*n = 480

и так как y+(y+(n-1)x) = 60, то подставляя в последнее уравнение, получим:

60n = 480,

n=8.

Т.е. бригада маляров красила забор 8 дней.