Текстовые задачи

 

Прототип Задания B14 (№99596)

 

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

 

Решение

Пусть скорость одного мотоциклиста равна x км/ч, тогда скорость второго мотоциклиста - (x+21) км/ч.

Так как мотоциклисты стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек, то изначально расстояние между ними равно половине длины трассы, т.е. 14/2 = 7 км.

Мотоциклисты движутся в одном направлении, а значит скорость их сближения равна разности их скоростей, т.е. (x+21) - x = 21 км/ч.

Когда мотоциклисты поравняются, один из них проедет на 7 км больше, чем другой (т.е. он проедет столько же, сколько и другой и еще 7 км, которые изначально были между ними).

Время, за которое один из мотоциклистов нагонит эти 7 км равно

7/21 = 1/3 часа = 1/3*60 = 20 минут.

 

Ответ: 20.

 

Прототип Задания B14 (№99581)

 

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

 

Решение

Пусть каждый день Вася решает на x задач больше, чем в предыдущий день.

1 день: 5 задач,

2 день: 5+x задач,

3 день: 5+ x+x = 5+2x задач,

...

14 день: 5+13x задач.

Так как Вася всего решил 434 задачи, то составим и решим уравнение:

5+(5+x)+(5+2x)+...+(5+13x) = 434.

В левой части уравнения стоит сумма арифметической прогрессии (a1 = 5, n=14, a14 = 5+13x). Тогда уравнение примет вид:

(5+5+13x)*14/2 = 434,

(10+13x)*7 = 434,

10+13x = 62

5+13x = 62-5,

5+13x = 57 - количество задач, которое решил Вася в последний день.

 

Ответ: 57.

 

Прототип Задания B14 (№99580)

 

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

 

Решение

Пусть каждый день рабочие увеличивают норму прокладки на x метров.

1 день: 3 м,

2 день: 3+x м,

3 день: 3+ x+x = 3+2x м,

...

10 день: 3+9x м.

Так как длина тоннеля 500 м и вся работа была выполнена за 10 дней, то составим и решим уравнение:

3+(3+x)+(3+2x)+...+(3+9x) = 500.

В левой части уравнения стоит сумма арифметической прогрессии (a1 = 3, n=10, a10 = 3+9x). Тогда уравнение примет вид:

(3+3+9x)*10/2 = 500,

(6+9x)*5 = 500,

6+9x = 100,

3+9x = 100-3,

3+9x = 97 - сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день.

 

 

Ответ: 97.

 

Прототип Задания B14 (№99579)

 

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

 

Решение

Пусть бригада маляров красила весь забор n дней и каждый день увеличивала норму покраски на x метров. Если в первый день бригада покрасила y метров забора, тогда во второй день она покрасила - (y+x) метров забора, а в последний, n-ый день - (y+(n-1)x) метров.

Так как за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора, то получаем уравнение:

y+(y+(n-1)x) = 60.

И так как длина забора 240 метров, то составим уравнение:

y+(y+x)+...+(y+(n-1)x) = 240.

В левой части данного уравнения стоит сумма n членов арифметической прогрессии (a1 = y, an = y+(n-1)x), тогда по формуле суммы арифметической прогрессии последнее уравнение перепишется в виде:

(y+y+(n-1)x)*n/2 = 240,

(y+y+(n-1)x)*n = 480

и так как y+(y+(n-1)x) = 60, то подставляя в последнее уравнение, получим:

60n = 480,

n=8.

Т.е. бригада маляров красила забор 8 дней.

 

Ответ: 8.

 

Прототип Задания B14 (№99578)

 

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

 

Решение

Пусть в 1 сосуде содержится x кг кислоты, во 2 сосуде - y кг кислоты.

1) Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты.

Так как растворы смешали, то общая масса раствора получилась 20+30 = 50 кг. Полученный раствор содержит 68% кислоты, т.е. 68*50/100 = 34 кг кислоты. Получаем первое уравнение:

x+y = 34.

2)Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты.

Предположим, что смешали 20 кг одного раствора и 20 кг другого. Тогда получим раствор массой 40 кг. Он содержит 70% кислоты, т.е. 70*40/100 = 28 кг кислоты.

Во втором растворе массой 20 кг содержится y кг кислоты, а в первом растворе на 30 кг приходится x кг кислоты, значит на 20 кг прийдется (x/30)*20 = (2/3)*x. Тогда получаем второе уравнение:

(2/3)*x+y = 28.

Получили систему из двух уравнений:

x+y = 34,

(2/3)*x+y = 28.

Вычтем из первого уравнения второе:

(1/3)x = 6,

x = 18.

Значит, в первом сосуде содержится 18 кг кислоты.

Ответ: 18.

 

Прототип Задания B14 (№99577)

 

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

 

Решение:

посмотреть/ скачать pdf

 

Ответ: 60.

 

Прототип Задания B14 (Лысенко, 2013, №396)

 

Ювелирное изделие состоит из серебра и золота. В начале года серебро дорожает на 5%, а золото - на 20% по сравнению с предыдущим годом, в результате чего стоимость ювелирного изделия увеличивается на 15%. Какую часть ювелирного изделия составляет золото, если в предыдущем году 1 г золота стоил в 18 раз дороже 1 г серебра? (Ответ дать в виде десятичной дроби.)

 

Решение

b13_27

 

Ответ: 0,1.

 

Прототип Задания B14 (Лысенко, 2013, №397)

 

В сосуде находится 10%-ный раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось окончательно в сосуде?

 

Решение

b13_28

 

Ответ: 8.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19