Геометрия

 

Задание B3 (ЕГЭ 2013)

 

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

 

b3

 

 

Решение

Опустим высоту в данном параллелограмме:

b3_2

 

На рисунке отрезок BC - высота к стороне ED (продолжению стороны ED) параллелограмма ABDE.

Так как площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту к этой стороне, получим

S = ED * BC = (3-1)*(6-3) =2*3 = 6.

 

Ответ: 6.

 

Задание B3 (ЕГЭ 2013)

 

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

 

b3_1

 

 

Решение

Опустим высоты DF и CE в трапеции ABCD (см. рисунок ниже).

b3

 

Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, получим:

S = ((AB+CD)/2)*DF

AB = 7-1 = 6, CD = 4-2 = 2, DF = 6-2 = 4.

S = ((6+2)/2)*4 = 4*4 = 16.

 

Ответ: 16.

 

Прототип задания B3 (№27060)

 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

b3_3

 

Решение

b3_3-1

Нам дано: AB = 1, BC = 2. S = 16. Нужно найти AD.

b3-2

 

Ответ: 3.

 

Прототип задания B3 (№27061)

 

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

 

b3_4-1

 

Решение

b3_4-2

 

Ответ: 4.

 

Задание B3 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2014)

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка F - середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADFB.

b3_5-1

 

Решение

b3_5-2Точка K - середина стороны AD. Тогда отрезок KF делит параллелограмм ABCD на два равных параллелограмма ABFK и KFCD. А значит и площади параллелограммов ABFK и KFCD равны между собой и равны 92/2 = 46. Треугольник KDF и CDF равны (по трем сторонам), значит их площади равны между собой и равны половине площади параллелограмма KFCD, т.е равны 46/2 = 23.

Площадь трапеции ADFB равна разности площадей параллелограмма ABCD и треугольника CDF и равна 92 - 23 = 69.

 

Ответ: 69.

 

Задание B3 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2014)

 

Периметр параллелограмма равен 30. Большая сторона равна 10. Найдите меньшую сторону паралеллограмма.

 

Решение

Пусть x - меньшая сторона параллелограмма. Тогда периметр параллелограмма равен 2(x+10).

2(x+10) = 30,

x+10 = 15,

x = 5.

То есть меньшая сторона параллелограмма равна 5.

 

Ответ: 5.

 

Задание B3 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2014)

 

DE - средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB. Периметр треугольника CDE равен 6. Найдите периметр треугольника ABC.

b3_6-1

 

Решение

Так как DE - средняя линия треугольника ABC, то AD = DC и CE = EB, DE = AB/2.

Периметр треугольника СDE равен CD+DE+CE = 6.

Периметр треугольника ABC равен :

P(ABC) = AB+AC+BC = 2DE+2CD+2CE = 2(DE+CD+CE) = 2*6 = 12.

 

Ответ: 12.

 

Задание B3 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2014)

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 6. Найдите площадь параллелограмма A'B'C'D', вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

 

b3_7-1

 

Решение

b3_7-2Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника ABC и ACD, площади которых равны между собой и равны 6/2 = 3. C'D' - средняя линия треугольника ACD, поэтому площадь треугольника D'DC' равна 1/4 площади треугольника ACD и равна 3/4. Аналогично, площади треугольников A'BB', AA'D' и CC'B' равны 3/4, сумма площадей этих четырех треугольников равна 4* 3/4 = 3.

Значит, площадь параллелограмма A'B'C'D' равна 6 - 3 = 3.

 

Ответ: 3.

 

1 2 3 4 5 6