Планиметрия

 

Прототип задания B8 (№ 27929)

 

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

 

b6_10_1

 

Решение

Найдем длину стороны шестиугольника: a = 72:6 = 12.

Для правильного шестиугольника справедлива формула : a = R (сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности).

R = 12, тогда диаметр равен 2R = 2*12 = 24.

 

Ответ: 24.

 

Прототип задания B8 (№ 27928)

 

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

 

 

Решение

b6_11

Так как углы A, B и C относятся как 1:2:3, то введем обозначения:

угол A = x, угол B = 2x, угол C = 3x.

Если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противополных углов равны 180 градусов.

Значит, x+3x = 2x+D = 180,

D = 4x-2x = 2x,

x+3x = 4x = 180,

x = 45,

D = 2x = 90.

 

 

Ответ: 90.

 

 

Прототип задания B8 (№ 27927)

 

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82^\circ и 58^\circ. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

 

b6_11

 

Решение

Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180 градусов.

Тогда один из оставшихся углов равен 180 - 82 = 98, а другой - (180 - 58) = 122.

 

Ответ: 122.

 

Прототип задания B8 (№ 27926)

 

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5.

 

b_6_12

 

Найдите высоту трапеции.

 

Решение

b_6_12

Обозначим через О - центр описанной окружности. Тогда AO = OB = OC = OD = R = 5.

CD = 6, AB = 8.

b6_12_3

b6_12_4

 

 

 

Ответ: 7.

 

Прототип задания B8 (№ 27923)

 

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

 

b6_13

 

Решение

Проведем высоту CH.

b6_13_2

По условию AC =BC = 40, AB = 48. Тогда AH = HB = 24.

Из прямоугольного треугольника BCH по теореме Пифагора найдем высоту CH:

b6_13_3

Площадь треугольника ABC равна:

b6_13_4

Радиус описанной окружности найдем по формуле:

b6_13_5

 

Ответ: 25.

 

 

1 2 3 4 5 6