Производная

 

Задание B8 (ЕГЭ 2013)

 

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале от (-5;9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

 

B8

 

Решение

Первое, на что мы обращаем внимание - на рисунке дан график функции (а не производной функции). Далее, отмечаем, что производная функции f(x) равна 0 в точках максимума и минимума функции f(x), т.е. нам нужно найти количество экстремумов функции f(x) на заданном интервале. На языке графика это означает, что нам нужно посчитать количество "бугорков" функции, т.е.:

 

b8

 

Получаем, что всего таких точек 9.

 

Ответ: 9.

 

Задание B8 (ЕГЭ 2013)

 

На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

 

b8

 

Решение

Значение производной функции f(x) в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поэтому нам надо составить уравнение данной касательной и графику и найти угловой коэффициент. В общем случае, уравнение касательной имеет вид: y = kx+b. В этом уравнении k и есть тот самый угловой коэффициент, который мы будет искать.

На рисунке жирными точками отмечены точки, через которые проходит наша касательная. Координаты этих точек: (-4; -2) и (-2; 5). Так как данная прямая проходит через эти точки, то подставим их координаты в уравнение касательной и найдем значение коэффициента k.

y = kx+b

-2 = -4k+b (подставили точку с координатами (-4;-2));

5 = -2k+b (подставили точку с координатами (-2;5)).

Теперь вычитаем из первого уравнения второе:

-2 - 5 = -4k-(-2k);

-7 = -2k;

k = 7/2 = 3,5.

Получаем искомое значение k=3,5, что то же самое, что значение производной функции f(x) в точке x_0.

 

Ответ: 3,5.

 

Задание B8 (ЕГЭ 2013)

 

На рисунке изображен график y = f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [2;8] функция f(x) принимает наименьшее значение?

b8_3

 

 

Решение

Если график y = f'(x) производной функции f(x) пересекает ось Ox в некоторой точке, то функция f(x) в этой точке имеет максимум или минимум. В данном случае график y = f'(x) перескает ось Ox в точке x=2. Так как при x<2 функция y = f'(x) <0 (это видно из графика), а при x>2 y = f'(x)>0 на рассматриваемом графике, то знак производной переходит с "-" на "+". А это означает, что x=2 - точка минимума. И т.к. x=2 принадлежит отрезку [2;8], то x=2 - искомая точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

 

Ответ: 2.

 

1 2 3 4 5