Стереометрия

 

Задание B9 (ЕГЭ 2013)

 

Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей равна 75. Найдите высоту конуса.

 

Решение

b9-2

По условию дано: BC = 42, AB=AC = 75.

Требуется найти высоту AO.

Так как BC - диаметр, то BO=OC = 42/2 = 21.

Для треугольника AOC запишем теорему Пифагора:

b9-3

 

Получаем, что искомая высота AO = 72.

 

Ответ: 72.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

Шар, объем которого равен 15π, вписан в куб. Найдите объем куба.

 

Решение

Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a3.

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен Vш = (4/3)πR3 и равен 15π, поэтому

(4/3)πR3 = 15π,

4R3 = 45,

R3 = 45/4.

a = 2R.

А объем куба равен V = a3 = (2R)3 = 8R3 = 8*45/4 = 90.

 

Ответ: 90.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

В цилиндрический сосуд налили 1700 см3 воды. Уровень воды при этом достиг 10 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в кубических сантиметрах.

 

Решение

Объем цилиндра равен V = πR2h. Так как изначально объем жидкости был равен 1700 см3 и уровень воды при этом достигал 10 см, то получаем уравнение:

πR2*10 = 1700,

πR2 = 170.

Объем детали равен объему вытесненной жидкости.

А значит объем детали равен Vдет = 5πR2 = 170*5 = 850.

 

Ответ: 850.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

В цилиндрический сосуд налили 2900 см3 воды. Уровень воды при этом достиг 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в кубических сантиметрах.

 

Решение

Объем цилиндра равен V = πR2h. Так как изначально объем жидкости был равен 2900 см3 и уровень воды при этом достигал 20 см, то получаем уравнение:

πR2*20 = 2900,

πR2 = 145.

Объем детали равен объему вытесненной жидкости.

А значит объем детали равен Vдет = 15πR2 = 145*15 = 2175.

 

Ответ: 2175.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

Шар, объем которого равен 36π, вписан в куб. Найдите объем куба.

 

Решение

Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a3.

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен Vш = (4/3)πR3 и равен 36π, поэтому

(4/3)πR3 = 36π,

4R3 = 108,

R3 = 27, R = 3.

a = 2R = 2*3 = 6.

А объем куба равен V = a3 = 63 = 216.

 

Ответ: 216.

 

1 2 3 4 5 6 7 8