Стереометрия
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Объем цилиндра V = πR2h.
В первом случае объем жидкости равен V = 16πR2.
Если диаметр второго сосуда в 2 раза больше диаметра первого сосуда, то и радиус второго сосуда в 2 раза больше радиуса первого сосуда. Поэтому после переливания жидкости во второй сосуд ее объем можно вычислить по формуле:
V = π(2R)2h = 4πR2h, где h - искомая высота.
Так как объем жидкости остается неизменным при переливании, то эти объемы равны:
16πR2 = 4πR2h,
h = 16/4 = 4.
Ответ: 4.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 20.
Высота конуса равна высоте цилиндра и радиус конуса равен радиусу цилиндра(см. рис.).
Объем конуса равен Vк = (1/3)πR2h = 20.
Объем цилиндра равен Vц = πR2h = 3Vк = 3*20 = 60.
Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса и равен 60.
Ответ: 60.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 19.
Высота конуса равна высоте цилиндра и радиус конуса равен радиусу цилиндра(см. рис.).
Объем конуса равен Vк = (1/3)πR2h = 19.
Объем цилиндра равен Vц = πR2h = 3Vк = 3*19 = 57.
Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса и равен 57.
Ответ: 57.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите ее объем.
Объем пирамиды равен V = (1/3)SоснH.
По условию H = SO = 2, SC = 4.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Найдем его сторону, т.е. найдем AB.
Из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора имеем:
SC2 = SO2+OC2,
OC2 = SC2 - SO2,
OC2 = 42 - 22 = 12,
OC = √(12) = 2√3,
AC = 4√3, AC2 = 48.
Из прямоугольного треугольника ABC (с учетом того, что AB = BC) по теореме Пифагора имеем:
AC2 = AB2+BC2 = 2AB2,
48= 2AB2, AB2 = 24.
Sосн = AB2 = 24,
V = (1/3) * 24 * 2 = 16.
Ответ: 16.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 12.
Высота конуса равна высоте цилиндра и радиус конуса равен радиусу цилиндра(см. рис.).
Объем конуса равен Vк = (1/3)πR2h = 12.
Объем цилиндра равен Vц = πR2h = 3Vк = 3*12 = 36.
Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса и равен 36.
Ответ: 36.