Стереометрия

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

 

Решение

Объем цилиндра V = πR2h.

В первом случае объем жидкости равен V = 16πR2.

Если диаметр второго сосуда в 2 раза больше диаметра первого сосуда, то и радиус второго сосуда в 2 раза больше радиуса первого сосуда. Поэтому после переливания жидкости во второй сосуд ее объем можно вычислить по формуле:

V = π(2R)2h = 4πR2h, где h - искомая высота.

Так как объем жидкости остается неизменным при переливании, то эти объемы равны:

16πR2 = 4πR2h,

h = 16/4 = 4.

 

Ответ: 4.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 20.

 

Решение

b9_6

Высота конуса равна высоте цилиндра и радиус конуса равен радиусу цилиндра(см. рис.).

Объем конуса равен Vк = (1/3)πR2h = 20.

Объем цилиндра равен Vц = πR2h = 3Vк = 3*20 = 60.

Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса и равен 60.

 

Ответ: 60.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 19.

 

Решение

b9_6

Высота конуса равна высоте цилиндра и радиус конуса равен радиусу цилиндра(см. рис.).

Объем конуса равен Vк = (1/3)πR2h = 19.

Объем цилиндра равен Vц = πR2h = 3Vк = 3*19 = 57.

Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса и равен 57.

 

Ответ: 57.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите ее объем.

 

Решение

b9_7

Объем пирамиды равен V = (1/3)SоснH.

По условию H = SO = 2, SC = 4.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Найдем его сторону, т.е. найдем AB.

Из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора имеем:

SC2 = SO2+OC2,

OC2 = SC2 - SO2,

OC2 = 42 - 22 = 12,

OC = √(12) = 2√3,

AC = 4√3, AC2 = 48.

Из прямоугольного треугольника ABC (с учетом того, что AB = BC) по теореме Пифагора имеем:

AC2 = AB2+BC2 = 2AB2,

48= 2AB2, AB2 = 24.

Sосн = AB2 = 24,

V = (1/3) * 24 * 2 = 16.

 

Ответ: 16.

 

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

 

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 12.

 

Решение

b9_6

Высота конуса равна высоте цилиндра и радиус конуса равен радиусу цилиндра(см. рис.).

Объем конуса равен Vк = (1/3)πR2h = 12.

Объем цилиндра равен Vц = πR2h = 3Vк = 3*12 = 36.

Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса и равен 36.

 

Ответ: 36.

 

1 2 3 4 5 6 7 8