Стереометрия
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.
Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a3.
Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).
Объем шара равен Vш = (4/3)πR3 и равен 8π, поэтому
(4/3)πR3 = 8π,
4R3 = 24,
R3 = 6.
a = 2R.
А объем куба равен V = a3 = (2R)3 = 8R3 = 8*6 = 48.
Ответ: 48.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Так как сечение проведено через середину высоты конуса, то AP = 1/2 AO и PK = 1/2 OB. То есть высота и радиус меньшего конуса в 2 раза меньше соответственно высоты и радиуса большего конуса.
Объем большего конуса равен Vк1 = (1/3)π(OB)2*AO = 32.
Объем меньшего конуса равен Vк2 = (1/3)π(PK)2*AP =(1/3)π(1/2 OB)2*(1/2 AO) = (1/3)π(OB)2*AO*1/8 = 32/8 = 4 .
Значит, объем меньшего конуса в 8 раз меньше и равен 4.
Ответ: 4.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Объем конуса равен 40. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Так как сечение проведено через середину высоты конуса, то AP = 1/2 AO и PK = 1/2 OB. То есть высота и радиус меньшего конуса в 2 раза меньше соответственно высоты и радиуса большего конуса.
Объем большего конуса равен Vк1 = (1/3)π(OB)2*AO = 40.
Объем меньшего конуса равен Vк2 = (1/3)π(PK)2*AP =(1/3)π(1/2 OB)2*(1/2 AO) = (1/3)π(OB)2*AO*1/8 = 40/8 = 5 .
Значит, объем меньшего конуса в 8 раз меньше и равен 5.
Ответ: 5.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E,F, E1 и F1 являются серединами ребер BC, DC, B1C1 и D1C1 соответственно. Объем призмы, отсекаемой от куба плоскостью EFF1, равен 15. Найдите объем куба.
Объем призмы равен V = SоснH =SCEF*CC1 = 15.
Обозначим ребро куба через a.Тогда объем призмы равен: V = 1/2 * a/2 * a/2 * a = 1/8 a3 = 15.
Объем куба равен V = a3 = 15*8 = 120.
Ответ: 120.
Задание B9 (Типовые варианты 2015)
Объем конуса равен 152. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Так как сечение проведено через середину высоты конуса, то AP = 1/2 AO и PK = 1/2 OB. То есть высота и радиус меньшего конуса в 2 раза меньше соответственно высоты и радиуса большего конуса.
Объем большего конуса равен Vк1 = (1/3)π(OB)2*AO = 152.
Объем меньшего конуса равен Vк2 = (1/3)π(PK)2*AP =(1/3)π(1/2 OB)2*(1/2 AO) = (1/3)π(OB)2*AO*1/8 = 152/8 = 19.
Значит, объем меньшего конуса в 8 раз меньше и равен 5.
Ответ: 19.