Стереометрия
Задание 12 (Типовые варианты 2015)
В правильной треугольной пирамиде SABC M - середина ребра AB, S - вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.
Так как площадь боковой поверхности пирамиды равна 45, а боковых граней у нее 3 и площади этих граней равны, то площадь каждой боковой грани равна 45:3 = 15.
То есть SABS=15.
Так как пирамида правильная, то треугольник ABS - равнобедренный. SM - медиана, а значит и высота. Тогда площадь треугольника ABS равна
SABS = 1/2 * AB* SM = 1/2 * 3 * SM = 1,5 SM.
1,5 SM = 15,
SM = 10.
Ответ: 10.
Задание 12 (Типовые варианты 2015)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB = 7, AD = 10, AA1 = 24. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
Прямоугольник ABC1D1 - сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
Найдем площадь этого прямоугольника.
SABC1D1 = AB*BC1.
Из прямоугольного треугольника BCC1 по теореме Пифагора
BC12 = BC2+CC12,
BC12 = 102+242,
BC12 = 676, BC1=26.
Тогда SABC1D1=7*26=182.
Ответ: 182.
Задание 12 (Типовые варианты 2015)
Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из той же вершины.
Обозначим ребро куба через a. Тогда a3 = 12.
Объем призмы равен V = SоснH =SCEFCC1 = 1/2* CE*EF*CC1 = 1/2*a/2*a/2*a,
V = 1/8 * a3 = (1/8)*12 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Задание 12 (Типовые варианты 2015)
В правильной треугольной пирамиде SABC P- середина ребра AB, S - вершина. Известно, что BC = 5, SP = 6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Так как пирамида правильная, то треугольник ABS - равнобедренный. Поэтому медиана SP является высотой и SABC = (1/2)*AB*SP.
SABC = (1/2)*5*6 = 15.
Так как все боковые грани пирамиды равны, то площадь боковой поверхности пирамиды равна 15*3 = 45.
Ответ: 45.
Задание 12 (Типовые варианты 2015)
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке O. Объем пирамиды равен 28, OS = 12. Найдите площадь треугольника ABC.
ABC - правильный треугольник, поэтому точка пересечения медиан - это центр вписанной и описанной окружностей.
OS - высота пирамиды. Поэтому объем пирамиды равен V = 1/3 Sосн*OS = 28.
28 = 1/3 SABC*12,
SABC = 7.
Ответ: 7.