Стереометрия

 

Задание 9 (Пробник-2015, профильный уровень)

 

Объем правильного икосаэдра \(\frac{144(3+\sqrt5)}{25}.\) Найти длину его ребра.

 

Решение

Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Объем икосаэдра можно вычислить по формуле:

$$V = \frac5{12}(3+\sqrt5)a^3.$$

Тогда, $$\frac5{12}(3+\sqrt5)a^3 = \frac{144(3+\sqrt5)}{25},$$

$$a^3 = \frac{12^3}{5^3},$$

$$a = 12/5 = 2,4.$$

 

Ответ: 2,4.

 

Задание 12 (Досрочный ЕГЭ - 2015, профильный уровень)

 

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 43. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

 

Решение

b9_15

Пусть сторона основания исходной призмы равна a, а высота равна h. Тогда площадь ее боковой поверхности равна:

$$S = 3ah.$$

У отсеченной треугольной призмы сторона основания будет равна a/2, а высота также, как и у большой призмы, равна h. Тогда площадь ее боковой поверхности будет равна:

$$S_2=3ah/2 = 1,5ah.$$

Тогда \(1,5ah = 43\), откуда \(3ah = 86\).

Значит, площадь боковой поверхности исходной призмы равна 86.

 

Ответ: 86.

 

Задание 13 (Досрочный ЕГЭ - 2015, базовый уровень)

 

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объем второй кружки больше объема первой?

 

Решение

b9_16

Пусть радиус основания первой кружки равен r, а высота первой кружки равна h. Тогда так как первая кружка в полтора раза ниже второй, то высота второй равна 1,5h. И так как вторая кружка вдвое шире первой, то радиус второй кружки равен 2r.

Объем первой кружки равен:

$$V_1 = \pi r^2 h,$$

объем второй кружки соответственно равен:

$$V_2 = \pi \cdot (2r)^2 \cdot 1,5h = 6\pi r^2h.$$

Тогда $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{6\pi r^2h}{\pi r^2h} = 6.$$

То есть объем второй кружки в 6 раз больше объема первой кружки.

 

Ответ: 6.

 

Задание 16 (Досрочный ЕГЭ - 2015, базовый уровень)

 

Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно \(\sqrt{17}\).

 

Решение

b9_17

$$V = 1/3 \cdot S_{осн}h = 1/3 \cdot AB^2 \cdot SO = 1/3 \cdot 4^2 \cdot SO = 16/3 \cdot SO.$$

Из прямоугольного треугольник ABC по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2+BC^2 = 2AB^2 = 2\cdot 16 = 32.$$

Тогда \(AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\), а \(AO = 1/2 AC = 2\sqrt{2}\).

Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника AOS:

$$SO^2 = AS^2 - AO^2,$$

$$SO^2 = (\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 17 - 8 = 9, $$

$$SO = 3.$$

Тогда объем пирамиды равен : $$V = 16/3 \cdot 9 = 16 \cdot 3 = 48.$$

 

Ответ: 48.

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8