Стереометрия
Задание 9 (Пробник-2015, профильный уровень)
Объем правильного икосаэдра \(\frac{144(3+\sqrt5)}{25}.\) Найти длину его ребра.
Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Объем икосаэдра можно вычислить по формуле:
$$V = \frac5{12}(3+\sqrt5)a^3.$$
Тогда, $$\frac5{12}(3+\sqrt5)a^3 = \frac{144(3+\sqrt5)}{25},$$
$$a^3 = \frac{12^3}{5^3},$$
$$a = 12/5 = 2,4.$$
Ответ: 2,4.
Задание 12 (Досрочный ЕГЭ - 2015, профильный уровень)
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 43. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
Пусть сторона основания исходной призмы равна a, а высота равна h. Тогда площадь ее боковой поверхности равна:
$$S = 3ah.$$
У отсеченной треугольной призмы сторона основания будет равна a/2, а высота также, как и у большой призмы, равна h. Тогда площадь ее боковой поверхности будет равна:
$$S_2=3ah/2 = 1,5ah.$$
Тогда \(1,5ah = 43\), откуда \(3ah = 86\).
Значит, площадь боковой поверхности исходной призмы равна 86.
Ответ: 86.
Задание 13 (Досрочный ЕГЭ - 2015, базовый уровень)
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объем второй кружки больше объема первой?
Пусть радиус основания первой кружки равен r, а высота первой кружки равна h. Тогда так как первая кружка в полтора раза ниже второй, то высота второй равна 1,5h. И так как вторая кружка вдвое шире первой, то радиус второй кружки равен 2r.
Объем первой кружки равен:
$$V_1 = \pi r^2 h,$$
объем второй кружки соответственно равен:
$$V_2 = \pi \cdot (2r)^2 \cdot 1,5h = 6\pi r^2h.$$
Тогда $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{6\pi r^2h}{\pi r^2h} = 6.$$
То есть объем второй кружки в 6 раз больше объема первой кружки.
Ответ: 6.
Задание 16 (Досрочный ЕГЭ - 2015, базовый уровень)
Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно \(\sqrt{17}\).
$$V = 1/3 \cdot S_{осн}h = 1/3 \cdot AB^2 \cdot SO = 1/3 \cdot 4^2 \cdot SO = 16/3 \cdot SO.$$
Из прямоугольного треугольник ABC по теореме Пифагора:
$$AC^2 = AB^2+BC^2 = 2AB^2 = 2\cdot 16 = 32.$$
Тогда \(AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\), а \(AO = 1/2 AC = 2\sqrt{2}\).
Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника AOS:
$$SO^2 = AS^2 - AO^2,$$
$$SO^2 = (\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 17 - 8 = 9, $$
$$SO = 3.$$
Тогда объем пирамиды равен : $$V = 16/3 \cdot 9 = 16 \cdot 3 = 48.$$
Ответ: 48.