Стереометрия
Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324458)
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(3\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна: \(S = 2 \pi Rh\). Значит \(S = 2 \pi R h = 3\sqrt{2}.\)
Так как по условию R=h, то \(2 \pi R^2 = 3\sqrt{2},\) откуда \(\pi R^2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}.\)
Искомая площадь боковой поверхности конуса равна \(S_к = \pi R L \).
По теореме Пифагора : \(L^2 = h^2+R^2,~~L^2 = 2R^2\), откуда \(L = \sqrt{2}R\).
Тогда \(S_к = \pi R L = \pi \sqrt{2}R^2 = \sqrt {2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3. \)
Ответ: 3.
Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324457)
В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AA_1\) равно 15, а диагональ \(BD_1\) равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки \(A, A_1\) и \(C\).
Искомым сечением будет прямоугльник \(AA_1C_1C\). Его площадь равна: \(S = AA_1 \cdot AC\).
По условию \(AA_1 = 15\). Найдем AC.
Так как AB = BC (так как призма по условию правильная), диагональ \(BD_1 = 17 \) и для диагонали справедлива формула: $$BD_1^2 = AB^2+BC^2+AA_1^2 = 2AB^2+AA_1^2,$$
получаем равенство: $$17^2 = 2AB^2+15^2,~~2AB^2 = 64,~~AB^2 = 32,~~ AB = \sqrt{32}.$$
Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC получим: $$AC^2 = 2AB^2 = 64,~~AC = 8.$$
Искомая площадь равна \(S = 15 \cdot 8 = 120 \).
Ответ: 120.
Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324456)
Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Нам дано: AB = 12, SB = 10. Нужно найти \(S_{ABS}\).
AO = OB = 12/2 = 6. Из прямоугольного треугольника SOB найдем SO по теореме Пифагора:
$$SO^2 = SB^2 - OB^2, ~~ SO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64,~~ SO = 8.$$
Тогда $$S_{ABS} = (1/2) \cdot AB \cdot SO = (1/2) \cdot 12 \cdot 8 = 48.$$
Ответ: 48.
Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324456)
Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Нам дано: SO = 8, SB = 10. Нужно найти \(S_{ABS}\).
Из прямоугольного треугольника SOB найдем OB по теореме Пифагора:
$$OB^2 = SB^2 - SO^2, ~~ OB^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36,~~ OB = 6.$$
AB = 2OB = 12.
Тогда $$S_{ABS} = (1/2) \cdot AB \cdot SO = (1/2) \cdot 12 \cdot 8 = 48.$$
Ответ: 48.