Стереометрия

 

Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324458)

 

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(3\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

 

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра равна: \(S = 2 \pi Rh\). Значит \(S = 2 \pi R h = 3\sqrt{2}.\)

Так как по условию R=h, то \(2 \pi R^2 = 3\sqrt{2},\) откуда \(\pi R^2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}.\)

Искомая площадь боковой поверхности конуса равна \(S_к = \pi R L \).

По теореме Пифагора : \(L^2 = h^2+R^2,~~L^2 = 2R^2\), откуда \(L = \sqrt{2}R\).

Тогда \(S_к = \pi R L = \pi \sqrt{2}R^2 = \sqrt {2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3. \)

 

Ответ: 3.

 

Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324457)

 

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AA_1\) равно 15, а диагональ \(BD_1\) равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки \(A, A_1\) и \(C\).

 

Решение

b9_19

Искомым сечением будет прямоугльник \(AA_1C_1C\). Его площадь равна: \(S = AA_1 \cdot AC\).

По условию \(AA_1 = 15\). Найдем AC.

Так как AB = BC (так как призма по условию правильная), диагональ \(BD_1 = 17 \) и для диагонали справедлива формула: $$BD_1^2 = AB^2+BC^2+AA_1^2 = 2AB^2+AA_1^2,$$

получаем равенство: $$17^2 = 2AB^2+15^2,~~2AB^2 = 64,~~AB^2 = 32,~~ AB = \sqrt{32}.$$

Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC получим: $$AC^2 = 2AB^2 = 64,~~AC = 8.$$

Искомая площадь равна \(S = 15 \cdot 8 = 120 \).

 

Ответ: 120.

 

Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324456)

 

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

 

Решение

b9_20

Нам дано: AB = 12, SB = 10. Нужно найти \(S_{ABS}\).

AO = OB = 12/2 = 6. Из прямоугольного треугольника SOB найдем SO по теореме Пифагора:

$$SO^2 = SB^2 - OB^2, ~~ SO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64,~~ SO = 8.$$

Тогда $$S_{ABS} = (1/2) \cdot AB \cdot SO = (1/2) \cdot 12 \cdot 8 = 48.$$

 

Ответ: 48.

 

Прототип задания 12 (Открытый банк заданий ЕГЭ, № 324456)

 

Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

 

Решение

b9_20

Нам дано: SO = 8, SB = 10. Нужно найти \(S_{ABS}\).

Из прямоугольного треугольника SOB найдем OB по теореме Пифагора:

$$OB^2 = SB^2 - SO^2, ~~ OB^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36,~~ OB = 6.$$

AB = 2OB = 12.

Тогда $$S_{ABS} = (1/2) \cdot AB \cdot SO = (1/2) \cdot 12 \cdot 8 = 48.$$

 

Ответ: 48.

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8