• Текстовые задачи (B1 - B2)

• Графики и диаграммы

• Планиметрия

• Реальная математика (B4)

• Уравнения

• Значения выражений

• Производная

• Стеореометрия

• Теория вероятностей

• Реальная математика (2 уровень)

• Текстовые задачи (2 уровень)

• Уравнения и системы уравнений (C1)

• Стереометрия (C2)

• Неравенства (C3)

• Планиметрия (C4)

• Задания с параметром (C5)
• Сложные задачи (C6)
• Задание 19 (профильный уровень)

Площадь боковой поверхности конуса равна: \(S = \pi Rl\), где R - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Если образующую увеличить в 11 раз, то площадь боковой поверхности нового конуса будет равна \(S_2 = 11\pi R l = 11S.\)

То есть площадь боковой поверхности увеличится в 11 раз.

Пусть \(S_1\) - площадь полной поверхности исходного конуса.

Тогда \(S_1 = \pi R^2 + \pi R l = \pi (OA)^2 + \pi \cdot OA \cdot AC = 36.\)

\(S_2\) - площадь полной поверхности отсеченного конуса.

\(S_2 = \pi (O_1A_1)^2+\pi \cdot O_1A_1 \cdot A_1C.\)

По условию \(O_1C = 1/2 \cdot OC\), поэтому \(A_1C = 1/2 \cdot AC\) и \(A_1O_1 = 1/2 \cdot AO\).

Тогда \(S_2 = \pi (1/2 \cdot OA)^2+\pi \cdot (1/2 \cdot OA) \cdot (1/2 \cdot AC) = 1/4 \pi (OA)^2+1/4 \pi \cdot OA \cdot AC = 1/4 (\pi (OA)^2 + \pi \cdot OA \cdot AC) = 1/4 \cdot 36 = 9.\)

Получили, что площадь полной поверхности отсеченного конуса в 4 раза меньше площади полной поверхности исходного конуса и равна 9.

Так как боковые ребра взаимно перпендикулярны, то любое из трех боковых ребер будет высотой пирамиды. Пусть SC - высота. Тогда основанием пирамиды будет прямоугольный треугольник ABS.

V = 1/3 S_оснH = 1/3 S_ABS*SC.

S_ABS = 1/2 AS*BS = 1/2*12*12 = 72.

V = 1/3 *72*12 = 288.

Пусть \(V_1 = 125V_2\).

$$V_1 = 4/3 \pi R_1^3,~V_2 = 4/3 \pi R_2^3.$$

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4/3 \pi R_1^3}{ 4/3 \pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = 125.$$

$$\frac{R_1}{R_2} = 5.$$

$$S_1 = 4\pi R_1^2,~~S_2 = 4\pi R_2^2.$$

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = 25.$$