Текстовые задачи

 

Задание 19 (Досрочный ЕГЭ 2015)

 

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе - 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

 

Решение

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят x единиц товара.

За эту работу рабочие на первом заводе получат всего 250x2 рублей.

На втором заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят y единиц товара. Всего рабочие второго завода получат 200y2 рублей.

Так как Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда, то

250x2+200y2=900000.

При этом за неделю будет произведено x+y единиц товара.

Значит, нужно найти максимальное значение функции f = x+y.

Из первого уравнения выразим y:

$$200y^2 = 900000 - 250x^2,$$

$$y=\sqrt{4500-1,25x^2}.$$

Тогда $$f= x+ \sqrt{4500-1,25x^2}.$$

Найдем максимальное значение этой функии. Для этого вычислим прозводную функции f:

$$f'=1+\frac{-1,25\cdot2x}{2\sqrt{4500-1,25x^2}} = 1-\frac{1,25x}{\sqrt{4500-1,25x^2}}.$$

$$\sqrt{4500-1,25x^2} - 1,25x=0,$$

$$4500-1,25x^2=1,5625x^2,$$

$$2,8125x^2=4500,$$

$$x^2=1600,$$

$$x=40,~ y = \sqrt{4500-1,25\cdot 1600} = 50.$$

$$f_{max}=40+50=90.$$

 

Ответ: 90.

 

Задание 19 (Типовые варианты - 2015)

 

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

 

Решение

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят 2x единиц товара. А на втором заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят 5y единиц товара.

Так как Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара, то

2x+5y=580.

При этом сумма, которую придется еженедельно тратить на оплату труда будет равна

$$f=500(x^2+y^2).$$

Чтобы найти наименьшую сумму, которую придется еженедельно тратить на оплату труда, нужно исследовать функцию f на минимум.

Из первого уравнения выразим y:

$$y=(580-2x)/5.$$

Подставим это выражение в функцию f:

$$f=500(x^2+(580-2x)/5)=500x^2+20(580-2x)^2.$$

$$f=580x^2-46400x+6728000.$$

Исследуем эту функцию на минимум. Для этого найдем ее производную:

$$f'=1160x-46400,$$

$$1160x-46400=0,$$

x=40 - точка минимума.

Находим соответствующий y:

$$y=(580-80)/5=100.$$

Значит наименьшая сумма, которую придется еженедельно тратить на зарплату рабочим равна

$$500(40^2+100^2)=5800000.$$

 

Ответ: 5800000.

 

Задание 19 (Статград, 2015)

 

В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

 

Решение

Рассмотрим сначала, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 2 года.

Пусть каждый год погашается X рублей. Тогда за 2 года всего банку будет уплачено 2X рублей.

С другой стороны, после наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей.

После уплаты за 1 год, останется сумма 76461 - X и на эту сумму будет снова начислено 10%.

За 2 год долг составит уже (76461 - X)*1,1 и эта сумма и будет выплачена во второй раз.

Так как долг был выплачен 2 равными платежами, то получаем уравнение:

X+(76461 - X)*1,1 = 2X,

84107,1 = 2,1X,

X = 40051.

Всего за 2 года банку будет уплачено 2*40051 = 80102 рублей.

Теперь найдем, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 3 года.

Пусть каждый год погашается Y рублей. Тогда за 3 года всего банку будет уплачено 3Y рублей.

После наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей.

После уплаты за 1 год, останется сумма 76461 - Y и на эту сумму будет снова начислено 10%.

За 2 год долг составит уже (76461 - Y)*1,1.

После второй выплаты банку Y рублей, останется сумма (76461 - Y)*1,1 - Y, на которую будет начислено 10%.

За 3 год долг составит уже ((76461 - Y)*1,1 - Y)*1,1. Эта сумму и будет последним 3 платежом.

Так как долг был выплачен 3 равными платежами, то получаем уравнение:

2Y+((76461 - Y)*1,1 - Y)*1,1 = 3Y,

3,31Y = 92517,81,

Y = 27951.

Всего за 3 года банку будет уплачено 3*27951 = 83853 рублей.

83853 - 80102 = 3751 рубль - искомая разница.

То есть, если погашать кредит 3 равными платежами, то придется заплатиь на 3751 рубль больше, чем если погашать этот кредит 2 равными платежами.

 

Ответ: 3751.

 

 

 

 

1 2 3 4 5