Текстовые задачи

 

Задание 19 (Подготовка к ЕГЭ 2015)

 

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме t2 гб. входящей в него информации выходит 20t, а с сервера № 2 при объеме t2 гб. входящей в него информации выходит 21t гб. обработанной информации; \(25 \le t \le 55\).Каков наибольший объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 гб.?

 

Решение

Пусть на сервере №1 обрабатывается x2 гб. информации, а значит выходит 20x гб. обработанной информации.

И пусть на сервере №2 обрабатывается y2 гб. информации, а значит выходит 21y гб. обработанной информации.

Так как общий объем входящей информации равен 3364 гб., то

x2+y2=3364.

При этом общий обхем выходящей информации равен 20x+21y.

Значит, нужно найти максимальное значение функции f = 20x+21y.

Из первого уравнения выразим y:

$$y^2 = 3364 - x^2,$$

$$y=\sqrt{3364-x^2}.$$

Тогда $$f= 20x+ 21\sqrt{3364-x^2}.$$

Найдем максимальное значение этой функии. Для этого вычислим прозводную функции f:

$$f'=20+\frac{21\cdot(-2x)}{2\sqrt{3364-x^2}} = 20-\frac{21x}{\sqrt{3364-x^2}}.$$

$$20-\frac{21x}{\sqrt{3364-x^2}}=0,$$

$$\frac{21x}{\sqrt{3364-x^2}} = 20,$$

$$400(3364-x^2) = 441x^2,$$

$$841x^2=400 \cdot 3364,$$

$$x^2=1600,~ x = 40,~~ y = \sqrt{3364-1600} = \sqrt{1764} = 42.$$

Так как x = 40 и y = 42 принадлежат отрезку [25; 55], то есть \(25 \le x \le 55,~ 25 \le y \le 55\), то это и есть искомые значения.

В этом случае объем выходящей информации с сервера №1 равен 20*40 = 800 гб., а с сервера №2 - 21*42 = 882 гб.

$$f_{max}=800+882=1682.$$

 

Ответ: 1682.

 

Задание 19 (Подготовка к ЕГЭ 2015)

 

Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта - по 30 руб., третьего сорта - по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?

 

Решение

Пусть x (кг) - масса яблок 1 сорта, y (кг) - масса яблок 2 сорта, z (кг) - масса яблок 3 сорта.

Тогда получаем 1 уранвение:

x+y+z = 91.

Так как яблоки 1 сорта садовод продавал за 40 руб. за кг., 2 сорта - за 30 руб., 3-го сорта - за 20 руб., а всего выручка составила 2170 руб., то получаем 2 уравнение:

40x+30y+20z = 2170.

С учетом уравнения 1 получим:

20(x+y+z)+20x+10y = 2170,

20*91+20x+10y = 2170,

20x+10y = 350,

2x+y = 35, откуда x = (35-y)/2.

Так как масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта, то получаем 3 уравнение:

100% - (y/z)*100& = 100% - (x/y)*100%,

или

y/z = x/y, откуда zx = y2.

z = y2/x = (2y2)/(35-y).

Подставим полученные выражения для x и z в первое уравнение:

$$\frac{35-y}{2}+y+\frac{2y^2}{35-y} = 91,$$

$$(35-y)^2+2y(35-y)+4y^2 = 182(35-y),$$

$$3y^2+182y-5145 = 0,$$

$$y_1 = 21,~y_2 = -245/3.$$

Получили, что y = 21, то есть садовод продал 21 кг яблок 2 сорта.

 

Ответ: 21.

 

Задание 19 (Подготовка к ЕГЭ 2015)

 

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

 

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

 

Решение

Пусть X - сумма кредита. В конце января долг составит 1,05X.

Пусть в феврале было погашено Y р. Тогда на начало февраля сумма долга составляет 1,05X - Y.

По условию это составляет 90% от суммы кредита. То есть 1,05X - Y = 0,9X, откуда Y = 0,15X. То есть за первый месяц было погашено 15% кредита.

На конец февраля сумма долга составит 1,05(1,05X-Y) = 1,05*0,9X = 0,945X. В начале марта после погашения Z р. сумма долга будет составлять 0,945X - Z. По условию это есть 80% от первоначальной суммы кредита, то есть

0,945X - Z = 0,8X, откуда Z = 0,145X.

Это означает, что за второй месяц было погашено 14,5% от суммы кредита.

На конец марта сумма долга составит 1,05(0,945X - Z) = 1,05(0,945X - 0,145X) = 0,84X. В начале апреля после погашения T р. сумма долга составит 0,84X - T, что составляет 70% от суммы кредита, то есть

0,84X - T = 0,7X, откуда T = 0,14X. Значит за третий месяц было погашено 14% от первоначальной суммы кредита.

Конец апреля. Сумма долга - 1,05(0,84X - 0,14X) = 0,735X. В начале мая, после погашения W р. сумма долга составит 0,735X - W. По условию это есть 60% от суммы долга, то есть 0,735X - W = 0,6X, откуда W = 0,135X.

За 4 месяц было погашено 13,5% от первоначальной суммы.

Конец мая. Сумма долга - 1,05(0,735X - 0,135X) = 0,63X. В начале июня, после погашения V р. сумма долга составит 0,63X - V. По условию это есть 50% от суммы долга, то есть 0,63X - V = 0,5X, откуда V = 0,13X. Значит, за 5 месяц было погашено 13% от суммы долга.

Последний месяц. Начало июля. Сумма долга равна 1,05(0,63X-0,13X) = 0,525X. Вся эта сумма была погашена. То есть последний платеж составил 52,5%.

Итого всего платежи составили: 15+14,5+14+13,5+13+52,5 = 122,5%.

122,5 - 100 = 22,5%.

Общая сумма выплат больше суммы самого кредита на 22,5%.

 

Ответ: 22,5.

 

 

 

 

1 2 3 4 5