Текстовые задачи

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

 

Решение

Пусть X (рублей) - нужно платить ежегодно.

1 год:

В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400.

После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 - X.

2 год:

В январе сумма долга составит (9662400 - X)*1,2.

После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 - X)*1,2 - X.

3 год:

В январе сумма долга составит ((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2.

После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X.

4 год:

В январе сумма долга составит (((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X)*1,2.

После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X)*1,2 - X.

Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т.е.

(((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X)*1,2 - X = 0.

Решим это уравнение и найдем X.

((9662400*1,2-1,2X - X)*1,2 - X)*1,2 - X = 0,

(9662400*1,22 - 2,64X-X)*1,2 - X = 0,

9662400*1,23 - 4,368X - X = 0,

5,368X = 9662400*1,23,

X = 3 110 400.

 

Ответ: 3 110 400.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

 

Решение

Пусть в банке было взято X млн. руб.

1 год:

В январе сумма долга будет составлять 1,2 X.

После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X - 2,16.

2 год:

В январе сумма долга будет составлять \(1,2 \cdot (1,2 X - 2,16) = 1,2^2 \cdot X - 2,592.\)

После 2 платежа сумма долга составит: \(1,2^2 \cdot X - 1,2\cdot 2,16 - 2,16 = 1,2^2 \cdot X-4,752\).

3 год:

В январе сумма долга будет составлять \(1,2 \cdot (1,2^2 \cdot X-4,752) = 1,2^3 \cdot X - 5,7024\).

После 3 платежа сумма долга составит: \(1,2^3 \cdot X - 5,7024 - 2,16 = 1,2^3 \cdot X-7,8624\).

Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т.е.

\(1,2^3 \cdot X-7,8624 = 0\),

\(1,2^3 \cdot X = 7,8624\),

\(X = 4,55\).

То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.

 

Ответ: 4,55.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

 

Решение

1 год:

В январе сумма долга составит \((1+a/100) \cdot 100 000 = 100 000+1000a\).

После 1 платежа долг будет равен \(100 000+1000a - 55000 = 45000+1000a\).

2 год:

В январе сумма долга составит \((1+a/100) \cdot(45000+1000a)\).

После 2 платежа долг будет равен \((1+a/100) \cdot(45000+1000a) - 69 000\).

Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть

\((1+a/100) \cdot(45000+1000a) - 69 000 = 0,\)

\( 45000+1000a +450a + 10a^2 - 69000 = 0\),

\(a^2 +145a - 2400 = 0\),

\( a_1 = 15,~ a_2 = -160.\)

Искомое a = 15%.

 

Ответ: 15.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

 

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.

Пусть X (рублей) - сумма ежегодного платежа.

1 год:

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 - X.

2 год:

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2 * 4026000 - X) = 1,2^2 \cdot 4026000 - 1,2X\).

После 2 платежа долг будет равен \(1,2^2 \cdot 4026000 - 1,2X - X = 1,2^2 \cdot 4026000 - 2,2X\).

3 год:

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2^2 \cdot 4026000 - 2,2X) = 1,2^3 \cdot 4026000 - 2,64X\).

После 3 платежа долг будет равен \(1,2^3 \cdot 4026000 - 2,64X - X = 1,2^3 \cdot 4026000 - 3,64X\).

4 год:

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2^3 \cdot 4026000 - 3,64X) = 1,2^4 \cdot 4026000 - 4,368X\).

После 4 платежа долг будет равен \(1,2^4 \cdot 4026000 - 4,368X - X = 1,2^4 \cdot 4026000 - 5,368X\).

Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:

\(1,2^4 \cdot 4026000 - 5,368X = 0,\)

\(5,368X = 1,2^4 \cdot 4026000\),

\(X = 1 555 200.\)

А за все 4 года выплаченная сумма составит \(4 \cdot 1 555 200 = 6 220 800.\)

Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.

Пусть Y (руб.) - размер ежегодного платежа.

1 год:

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 - Y.

2 год:

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2 * 4026000 - Y) = 1,2^2 \cdot 4026000 - 1,2Y\).

После 2 платежа долг будет равен \(1,2^2 \cdot 4026000 - 1,2Y - X = 1,2^2 \cdot 4026000 - 2,2Y\).

Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:

\(1,2^2 \cdot 4026000 - 2,2Y = 0,\)

\(2,2Y =1,2^2 \cdot 4026000\),

\(Y = 2 635 200.\)

А за 2 года выплаченная сумма составит \(2 \cdot 2 635 200 = 5 270 400.\)

Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:

6 220 800 - 5 270 400 = 950 400.

 

Ответ: 950 400.

 

 

 

 

1 2 3 4 5