Текстовые задачи

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

 

Решение

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 1,8 млн. рублей.

1 год:

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 - 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 - 5,4 = 0,6 - разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

5,4 - 0,6n = 0,

n = 9.

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 - 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 - 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 - (6-0,6n) = 1,92 - 0,12n.

1,92 - 0,12n<1,8

0,12n>0,12

n>1.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

 

Ответ: 10.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

 

Решение

1 год:

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 - (11-X) = (X - 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

10 - 5*(X-1).

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т.е. получаем уравнение:

10 - 5*(X-1) = 0,

X-1 = 2,

X = 3.

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 - 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 - 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 - 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 - 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 - 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 - 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 - 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т.е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

 

Ответ: 13.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

 

Решение

1 год:

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 - (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

\((20 - (n-1)\cdot(X-6))\cdot1,3 \) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

\((20 - (n-1)\cdot(X-6))\cdot1,3 - (20-n(X-6)). \)

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

Во 2 год -

\((20 - X+6)\cdot 1,3 - 20 + 2X-12 = 33,8 - 1,3X - 32+2X = 1,8+0,7X.\)

В 3 год -

\((20 - 2X+12)\cdot 1,3 - 20+3 \cdot(X-6) = 41,6-2,6X - 20+3X-18 = 3,6+0,4X.\)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,8-0,3X, а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2X+(1,8-0,3X)\cdot (n-1)}{2}\cdot n = 47,$$

$$(2X+(1,8-0,3X)\cdot (n-1))n = 94.$$

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

$$20-n(X-6) = 0,$$

Откуда получаем, что

$$n = \frac{20}{X-6}.$$

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$(2X+(1,8-0,3X)\cdot (\frac{20}{X-6}-1))\cdot\frac{20}{X-6} = 94.$$

$$20\cdot (2X(X-6)+(1,8-0,3X)\cdot 20 -(1,8-0,3X)\cdot (X-6)) = 94 \cdot (X-6)^2, $$

$$10\cdot(2x^2 - 12X+36-6X-1,8X+10,8+0,3X^2-1,8X) = 47 \cdot (X^2 - 12X+36),$$

$$10 \cdot (2,3X^2-21,6X+46,8) = 47 \cdot (X^2 - 12X+36), $$

$$23X^2-216X+468 = 47 X^2 - 564 X+1692, $$

$$24X^2-348X+1224 = 0,$$

$$2X^2 - 29X+102 = 0,$$

$$X_1 = 8,5,~X_2 = 6.$$

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

 

Ответ: 8.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей.

 

Решение

1 год:

В январе сумма долга составит \((1+x/100)\cdot 6\).

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

$$(1+x/100)\cdot 6 - Y.$$

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

$$6 - ((1+x/100)\cdot 6 - Y) = Y - 6x/100. $$

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

$$6 - 15 \cdot (Y-6x/100) = 0,$$

$$5Y - 0,3X = 2,$$

$$Y = 0,06X+0,4.$$

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

$$Y - 6x/100 = 0,06X+0,4 -0,06X = 0,4. $$

И в июле сумма долга будет равна 6 - 0,4 = 5,6 млн. руб.

2 год:

В январе сумма долга составит

$$(1+\frac{x}{100}) \cdot ((1+\frac{x}{100})\cdot 6-Y) = 5,6 \cdot (1+\frac{x}{100}).$$

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 - 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

$$5,6 \cdot (1+\frac{x}{100}) - 5,2 = 0,056x+0,4.$$

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

$$0,06X+0,4 - (0,056x+0,4) = 0,004x.$$

Поэтому последний 15 платеж будет равен

$$0,06X+0,4 - 14 \cdot 0,004x = 0,004x+0,4.$$

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

$$0,06X+0,4 \le 1,9,~~ 0,004x+0,4 \ge 0,5,$$

$$x \le 25,~~x \ge 25 .$$

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

 

Ответ: 25.

 

 

 

 

1 2 3 4 5