Текстовые задачи

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

 

Решение

1 год:

В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 - (20-X) = (X-4) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

\((16 - (n-1)\cdot(X-4))\cdot1,25 \) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 16-n(X-4).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

\((16 - (n-1)\cdot(X-4))\cdot1,25 - (16-n(X-4)). \)

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

Во 2 год -

\((16 - X+4)\cdot 1,25 - 16 + 2X-8 = 1+0,75X.\)

В 3 год -

\((16 - 2X+8)\cdot 1,25 - 16+3 \cdot(X-4) = 2+0,5X.\)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна

1+0,75X-X = 1-0,25X,

а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2X+(1-0,25X)\cdot (n-1)}{2}\cdot n = 40,$$

$$(2X+(1-0,25X)\cdot (n-1))n = 80.$$

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

$$16-n(X-4) = 0,$$

Откуда получаем, что

$$n = \frac{16}{X-4}.$$

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$(2X+(1-0,25X)\cdot (\frac{16}{X-4}-1))\cdot\frac{16}{X-4} = 80.$$

$$16\cdot (2X(X-4)+(1-0,25X)\cdot 16 -(1-0,25X)\cdot (X-4)) = 80 \cdot (X-4)^2, $$

$$2x^2 - 8X+16-4X-X+4+0,25X^2-X = 5 \cdot (X^2 - 8X+16),$$

$$2,25X^2-14X+20 = 5\cdot (X^2 - 8X+16), $$

$$9X^2-56X+80 = 20 X^2 - 160 X+320, $$

$$11X^2-104X+240 = 0,$$

$$X_1 = 4,~X_2 = 60/11.$$

Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.

Если X = 4, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 11 лет.

 

Ответ: 11.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?

 

Решение

Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть максимальными, т.е. в условиях нашей задачи составлять 350 000 рублей в год.

1 год:

В январе долг станет равным 1 300 000* 1,1 = 1 430 000 рублей.

После 1 платежа в июле сумма долга составит 1 430 000 - 350 000 = 1 080 000 рублей.

2 год:

В январе долг станет равным 1 080 000*1,1 = 1 188 000 рублей.

После 2 платежа в июле сумма долга составит 1 188 000 - 350 000 = 838 000 рублей.

3 год:

Январь: 838 000*1,1 = 921 800.

После 3 платежа в июле: 921 800 - 350 000 = 571 800.

4 год:

Январь: 571 800*1,1 = 628 980.

После 4 платежа: 628 980 - 350 000 = 278 980.

5 год:

Январь: 278 980*1,1 = 306 878.

5 платеж будет последним и составит 306 878 рублей.

Получили, что кредит можно взять минимум на 5 лет.

 

Ответ: 5.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

 

Решение

Доход можно вычислить по формуле:

$$PQ = P(15000-P).$$

Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:

$$R = PQ - (3000Q+5000000) = P(15000-P) - (3000(15000-P)+5000000),$$

$$R = 15000P - P^2 - 45 000 000 + 3000P - 5 000 000,$$

$$R = -P^2 + 18000P - 50 000 000.$$

После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по формуле:

$$R = -(0,8P)^2 + 18000\cdot 0,8P - 50 000 000.$$

$$R = -0,64P^2+14400P - 50 000 000.$$

Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

$$-P^2 + 18000P - 50 000 000 = -0,64P^2+14400P - 50 000 000,$$

$$0,36P^2-3600P = 0,$$

$$P_1 = 0,~~P_2 = 10 000.$$

Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.

Теперь исследуем функцию \(R = -P^2+ 18000P - 50 000 000\) на максимум и найдем P, при котором будет достигаться наибольшая прибыль.

Для этого найдем производную функции \(R = -P^2+ 18000P - 50 000 000\):

$$R' = -2P+18000,$$

$$R' = 0,~~ P_1 = 0, ~~ P_2 = 9000.$$

P = 9000 - точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая прибыль.

Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей. Имеем пропорцию:

8000 - 100%,

9000 - x%.

8000x = 900000,

x = 112,5%.

112,5 - 100 = 12,5%.

То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

 

Ответ: 12,5%.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

 

Решение

Пусть X (руб.) - взято в кредит в банке. Y (руб.) - первый платеж.

1 месяц (февраль):

1-го февраля долг стал равен \((1+r/100) \cdot X\).

15 февраля сумма долга (после 1 платежа) будет составлять

$$(1+r/100) \cdot X - Y.$$

Так как 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то эта сумма равна

$$X - ((1+r/100) \cdot X - Y) = Y - rX/100.$$

Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.

$$X - 39 \cdot (Y - rX/100) = 0,$$

$$Y = \frac{X+39rX/100}{39} = X/39+rX/100.$$

Теперь найдем общую сумму погашения кредита.

Так как долг 15-го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.

1 марта сумма долга станет равна

$$(1+r/100) \cdot ((1+r/100) \cdot X - Y) = (1+r/100) \cdot ((X+rX/100 - X/39 - rX/100) = $$

$$= (1+r/100) \cdot 38X/39.$$

15 марта сумма долга будет составлять :

$$(1+r/100) \cdot X - Y - (Y - rX/100) = X-2Y+2rX/100 = $$

$$ = X - 2X/39-2rX/100+2rX/100 = 37X/39.$$

Значит, второй платеж равен

$$(1+r/100) \cdot 38X/39 -37X/39 = X/39 + 38rX/3900. $$

Разница между платежами составляет:

$$Y - (X/39 + 38rX/3900) = X/39+rX/100 - X/39 - 38rX/3900 = $$

$$ = rX/100 \cdot (1-38/39) = rX/3900.$$

Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть общая сумма платежей равна 1,2X.

Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_{39} = \frac{2(X/39+rX/100)-rX/3900 \cdot 38}{2} \cdot 39 = 1,2X,$$

$$ 39 \cdot (2X/39+2rX/100-38rX/3900) = 2,4X.$$

Сократим все уравнение на X:

$$39 \cdot (2/39 + 2r/100 -38r/3900) = 2,4,$$

$$2+78r/100-38r/100 = 2,4,$$

$$40r/100 = 0,4,$$

$$r = 1.$$

То есть искомое значение r = 1%.

 

Ответ: 1.

 

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

 

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5х^2+2x+6\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(px-(0,5x^2+2x+6)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

 

Решение

За 3 года прибыль составит:

$$3 \cdot (px-(0,5x^2+2x+6)).$$

Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:

$$3 \cdot (px-(0,5x^2+2x+6)) \ge 78,$$

$$px-(0,5x^2+2x+6) \ge 26,$$

$$px \ge 0,5x^2+2x+32,$$

$$p \ge 0,5x+2+\frac{32}{x}.$$

Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию \(0,5x+2+32/x\) на минимум. Для этого найдем ее производную:

$$(0,5x+2+32/x)' = 0,5-32/x^2,$$

$$0,5 - \frac{32}{x^2} = 0,$$

$$x^2 = 64,~x_1 = 8,~x_2 = -8.$$

x = 8 - точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:

$$p = 0,5 \cdot 8 + 2 + 32/8 = 4+2+4 = 10. $$

Искомое наименьшее значение p = 10.

 

Ответ: 10.

 

 

 

 

1 2 3 4 5