Планиметрия (задание C4)

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

Решение

c4_3-2

c4_3-2

c4_3-3

 

Ответ: 3.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2012)

Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса c4_4-1 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

Решение

c4_4-2

c4_4-3

 

Ответ: 91/17 или 221/7.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2012)

В треугольнике ABC AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC = 1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение

c4_5-1

c4_5-2

 

Ответ: 4,5 или 6.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2012)

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Решение

c4_6-1

c4_6-2c4_6-3

 

Ответ: 512 или 800.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2012)

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в трегольник окружности, равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

Решение

c4_7-1

c4_7-2

 

Ответ: 36 или 9.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2012)

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов треугольника равно 3/4.

Решение

c4_8-1

 

Ответ: 4 или 4,5.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2012)

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Решение

c4_9-1c4_9-2

 

Ответ: 4 или 24.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)

На стороне BA угла ABC, равного c2_21-2, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A,D и касающейся прямой BC.

Решение

c4_10-1c4_10-2

c4_10-3

 

Ответ: 1 или 7.

 

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)

В треугольнике ABC AB = 12, BC = 5, AC = 10. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ABD и ACD, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение

c4_11

 

Ответ: c4_11-2

1 2 3