Планиметрия (задание 18)

 

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

 

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжени высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P.

а) Докажите, что треугольник MNP - прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 12.

Решение

c4_25

 

 

Ответ:

 

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

 

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причем ∠BEC=120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Решение

 

c4_26

 

Ответ: 113.

 

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника A1B1C1.

а) Докажите, что C1Q - биссектриса угла AC1B1.

б) Найдите расстояние от точки O до центра окружности, вписанной в треугольник AC1B1, если известно, что BC = 15, AB = 13, AC = 14.

Решение

c4_27-1

c4_27-2

 

Ответ: 4.

 

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Решение

c4_28-1

c4_28-2

 

Ответ:8.

 

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причем H - середина AE.

а) Докажите, что четырехугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB = 5 и AH = 4.

Решение

c4_29-1

c4_29-2

 

Ответ: 67,5.

 

1 2 3