Задания с параметром (20)

 

Задание C5 (ЕГЭ-2014)

 

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$(x+\frac{1}{x-a})^2-(a+9)(x+\frac{1}{x-a})+2a(9-a)=0$$ имеет ровно четыре решения.

 

Решение

 

Сделаем замену: $$t=x+\frac{1}{x-a}.$$ Тогда уравнение перепишется в виде:

$$t^2-(a+9)t+2a(9-a)=0.$$

Для того, чтобы исходное уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы данное уравнение имело 2 корня, то есть, чтобы дискриминант был больше 0.

$$D = (a+9)^2-4\cdot2a(9-a)=a^2+18a+81-72a+8a^2=9a^2-54a+81=9(a^2-6a+9)=9(a-3)^2.$$

D>0, значит $$a\not=3.$$

Найдем корни уравнения:

$$t_1=\frac{a+9+3|a-3|}{2},~t_2=\frac{a+9-3|a-3|}{2}.$$

Возможны два случая раскрытия модуля.

Смотреть далее

1) Пусть a>3. Тогда $$|a-3|=a-3.$$

$$t_1=\frac{a+9+3(a-3)}{2} = 2a,~t_2=\frac{a+9-3(a-3)}{2} = 9-a.$$

Возвращаясь к замене, получим: $$x+\frac{1}{x-a} = 2a,~~x+\frac{1}{x-a} = 9-a.$$

Каждое из этих уравнений должно иметь 2 корня. Рассмотрим отдельно каждое уравнение:

$$x+\frac{1}{x-a} = 2a,$$

$$x(x-a)-2a(x-a)+1 = 0,$$

$$x^2-3ax+2a^2+1=0.$$

Для того, чтобы это уравнение имело 2 корня, нужно, чтобы дискриминант D был больше 0.

$$D = 9a^2-4(2a^2+1) = a^2-4.$$

$$a^2-4>0,$$ откуда следует, что $$a \in (-\infty;-2);(2;\infty).$$

Аналогично рассмарриваем второе уравнение: $$x+\frac{1}{x-a} = 9-a.$$

$$x(x-a)-(9-a)(x-a)+1 = 0,$$

$$x^2-9x-a^2+9a+1=0,$$

$$D = 81-4(-a^2+9a+1) = 4a^2-36a+77>0, $$

откуда, решая неравенство, получаем: $$a \in (-\infty;7/2);(11/2;\infty).$$

Итак, в 1-ом случае получаем систему условий:

$$\begin{cases}a>3, \\ a \in (-\infty;-2);(2;\infty), \\ a \in (-\infty;7/2);(11/2;\infty) \end{cases}$$

Решая систему, получим: $$a \in (3;7/2);(11/2;\infty).$$

2) Теперь рассматриваем случай, когда a<3. Тогда $$|a-3|=3-a.$$Получаем корни:

$$t_1=\frac{a+9-3(a-3)}{2} = 9-a,~t_2=\frac{a+9+3(a-3)}{2} = 2a.$$

Так как корни получили такие же, как и в 1-ом случае, то система будет аналогичной, только первое неравенство имеет другой вид:

$$\begin{cases}a<3, \\ a \in (-\infty;-2);(2;\infty), \\ a \in (-\infty;7/2);(11/2;\infty) \end{cases}$$

Откуда получаем: $$a \in (-\infty;-2);(2;3).$$

Объединяя два ответа, получаем итоговое решение: $$a \in (-\infty;-2);(2;3);(3;7/2);(11/2;\infty).$$

 

Ответ: (-∞;-2);(2;3);(3;7/2);(11/2;∞).

 

 

 

1 2 3