Задание C6

 

Задание С6 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а) Может ли в последовательности быть три члена?

б) Может ли в последовательности быть четыре члена?

в) Может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

 

Решение

c6_2

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

 

Задание С6 (Высоцкий, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

В ряд выписаны числа: c6_5 Между ними произвольным образом расставляют знаки "+" и "-" и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

а) 8, если N = 8?

б) 0, если N = 90?

в) 0, если N = 56?

г) -4, если N = 75?

 

Решение

c6_5_2

c6_5_3

 

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

 

Задание С6 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

 

Решение

Число делиится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11.

Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.

Примечание. В задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством.

 

Ответ: Да.

 

Задание С6 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

Квадратный трехчлен c6_6_1имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке x=11 являются простыми числами. Найдите корни трехчлена.

 

Решение

Пусть корни a и b. Тогда f(x) = (x-a)(x-b). По условию число f(11) = (11-a)(11-b) простое. Следовательно, один из множителей в этом произведении равен 1 или -1. Пусть, для определенности, это будет множитель 11-a.

1 случай: a = 10. Число 11-b должно быть простым. Это будет, если b равно одному из чисел 4, 6, 8, 9. Но число b также должно быть простым. Противоречие.

2 случай: a = 12. Тогда число b-11 должно быть простым. Это возможно, если b принимает одно из значений 13, 14, 16, 18, 22, ... Все числа здесь, кроме числа 13, четные и больше, чем 2, а поэтому составные. Но b также должно быть просто. Следовательно, имеется единственный подходящий вариант a = 12, b = 13.

 

Ответ: 12 и 13.

 

 

 

1 2 3 4