Задание C6
Задание С6 (Ященко, ЕГЭ по математике 2015, типовые тестовые задания, базовый уровень)
Сумма цифр трехзначного натурального числа A делится на 12. Сумма цифр числа A+6 также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число A.
Пусть A = xyz - искомое натуральное трехзначное число. Тогда x+y+z - сумма его цифр и по условию x+y+z делится на 12. Поэтому x+y+z = 12m, где m = 1,2,3,...
При этом само число A = 100x+10y+z. Теперь рассмотрим число A+6 = 100x+10y+z+6. Определим, из каких цифр состоит это число.
1) Если z<4, то есть z = 0,1,2,3, тогда у числа A+6 цифра сотен - x, цифра десятков - y, единицы - z+6.
По условию сумма цифр числа A+6 делится на 12, то есть x+y+z+6 делится на 12, а значит x+y+z+6 можно записать в виде: x+y+z+6 = 12k, k = 1,2,3,...
Тогда получаем: x+y+z = 12m и x+y+z+6 = 12k.
Вычтем из второго уравнения первое:
x+y+z+6-(x+y+z) = 12k - 12m,
6 = 12(k-m),
k-m = 6/12,
k-m = 0,5, этого быть не может, так как k и m - натуральные числа, а разность натуральных чисел не может быть равна 0,5.
Значит, z>=4, то есть z = 4,5,6,7,8,9
2) z = 4,5,6,7,8,9
Тогда у числа A+6 изменится не только цифра единиц, но и цифра десятков. Так как 6+z не превышает 15, то есть 6+z<=15, то цифра десятков может увеличится только на 1.
Если y<9, то у числа A+6 цифра сотен - x, цифра десятков - (y+1), единицы: 6-(10-z) = z-4.
Сумма цифр числа A+6 делится на 12, то есть x+y+1+z-4 = x+y+z-3 делится на 12, а значит x+y+z-3 можно записать в виде: x+y+z-3 = 12k, k = 1,2,3,...
Тогда получаем: x+y+z = 12m и x+y+z-3 = 12k.
Вычтем из второго уравнения первое:
x+y+z-3-(x+y+z) = 12k - 12m,
-3 = 12(k-m),
k-m = -3/12,
k-m = -0,25, этого быть не может, так как k и m - натуральные числа, а разность натуральных чисел не может быть равна -0,25. Значит, y<9 - неверное предположение.
3) Остается вариант: y = 9, z = 4,5,6,7,8,9.
Тогда у числа A+6 изменится цифра сотен изменится на 1, а цифра десятков станет равной 0, то есть у числа A+6:
x+1 - цифра сотен, 0 - цифра десятков, и z-4 - цифра единиц.
Тогда x+1+0+z-4 = x+z-3 делится на 12, а значит x+z-3 можно записать в виде: x+z-3 = 12k, k = 1,2,3,...
Тогда получаем: x+9+z = 12m и x+z-3 = 12k.
Вычтем из первого уравнения второе:
x+9+z-(x+z-3) = 12m - 12k,
12 = 12(m-k),
m-k = 1,
получаем, что в этом случае можно найти искомые числа. У числа A y=9, а x+z = 12m - 9,
если m=1, то z+x = 12-9 = 3. Так как z>3, то случай m=1 нам не подходит.
Пусть тогда m=2. В этом случае z+x = 12*2 - 9 = 24-9 = 15.
Мы ищем наименьшее число, поэтому чем меньше x, тем меньше число А.
Значит, z = 9, а x = 15-9 = 6.
Искомое число A = 699.
Ответ: 699.
Задание С6 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Задание С6 (Ященко, ЕГЭ по математике 2013)
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 4/13 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б) ?
Ответ: а) да; б) 10; в) 9/19.
Задание С6 (Ященко, ЕГЭ по математике 2013)
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.