Задание C6

 

Задание С6 (Ященко, ЕГЭ по математике 2015, типовые тестовые задания, базовый уровень)

 

Сумма цифр трехзначного натурального числа A делится на 12. Сумма цифр числа A+6 также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число A.

 

Решение

Пусть A = xyz - искомое натуральное трехзначное число. Тогда x+y+z - сумма его цифр и по условию x+y+z делится на 12. Поэтому x+y+z = 12m, где m = 1,2,3,...

При этом само число A = 100x+10y+z. Теперь рассмотрим число A+6 = 100x+10y+z+6. Определим, из каких цифр состоит это число.

1) Если z<4, то есть z = 0,1,2,3, тогда у числа A+6 цифра сотен - x, цифра десятков - y, единицы - z+6.

По условию сумма цифр числа A+6 делится на 12, то есть x+y+z+6 делится на 12, а значит x+y+z+6 можно записать в виде: x+y+z+6 = 12k, k = 1,2,3,...

Тогда получаем: x+y+z = 12m и x+y+z+6 = 12k.

Вычтем из второго уравнения первое:

x+y+z+6-(x+y+z) = 12k - 12m,

6 = 12(k-m),

k-m = 6/12,

k-m = 0,5, этого быть не может, так как k и m - натуральные числа, а разность натуральных чисел не может быть равна 0,5.

Значит, z>=4, то есть z = 4,5,6,7,8,9

2) z = 4,5,6,7,8,9

Тогда у числа A+6 изменится не только цифра единиц, но и цифра десятков. Так как 6+z не превышает 15, то есть 6+z<=15, то цифра десятков может увеличится только на 1.

Если y<9, то у числа A+6 цифра сотен - x, цифра десятков - (y+1), единицы: 6-(10-z) = z-4.

Сумма цифр числа A+6 делится на 12, то есть x+y+1+z-4 = x+y+z-3 делится на 12, а значит x+y+z-3 можно записать в виде: x+y+z-3 = 12k, k = 1,2,3,...

Тогда получаем: x+y+z = 12m и x+y+z-3 = 12k.

Вычтем из второго уравнения первое:

x+y+z-3-(x+y+z) = 12k - 12m,

-3 = 12(k-m),

k-m = -3/12,

k-m = -0,25, этого быть не может, так как k и m - натуральные числа, а разность натуральных чисел не может быть равна -0,25. Значит, y<9 - неверное предположение.

3) Остается вариант: y = 9, z = 4,5,6,7,8,9.

Тогда у числа A+6 изменится цифра сотен изменится на 1, а цифра десятков станет равной 0, то есть у числа A+6:

x+1 - цифра сотен, 0 - цифра десятков, и z-4 - цифра единиц.

Тогда x+1+0+z-4 = x+z-3 делится на 12, а значит x+z-3 можно записать в виде: x+z-3 = 12k, k = 1,2,3,...

Тогда получаем: x+9+z = 12m и x+z-3 = 12k.

Вычтем из первого уравнения второе:

x+9+z-(x+z-3) = 12m - 12k,

12 = 12(m-k),

m-k = 1,

получаем, что в этом случае можно найти искомые числа. У числа A y=9, а x+z = 12m - 9,

если m=1, то z+x = 12-9 = 3. Так как z>3, то случай m=1 нам не подходит.

Пусть тогда m=2. В этом случае z+x = 12*2 - 9 = 24-9 = 15.

Мы ищем наименьшее число, поэтому чем меньше x, тем меньше число А.

Значит, z = 9, а x = 15-9 = 6.

Искомое число A = 699.

 

Ответ: 699.

 

Задание С6 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

а) Может ли в последовательности быть три члена?

б) Может ли в последовательности быть четыре члена?

в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?

 

Решение

c6_1

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

 

Задание С6 (Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 4/13 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б) ?

 

Решение

c6_3_2

c6_3_1

 

Ответ: а) да; б) 10; в) 9/19.

 

Задание С6 (Ященко, ЕГЭ по математике 2013)

 

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

 

Решение

c6_4

 

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.

 

 

 

 

 

1 2 3 4